Lösung 2.2:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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First, we multiply both sides in the equation by <math>4\cdot 7=28</math>, so that we get rid of the denominators in the equation,
+
Zuerst multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit <math>4\cdot 7=28</math>, sodass die Nenner in den Brüchen verschwinden,
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
& 4\cdot{}\rlap{/}7\cdot\frac{8x+3}{\rlap{/}7} - \rlap{/}4\cdot 7\cdot\frac{5x-7}{\rlap{/}4} = 4\cdot 7\cdot 2\\[5pt]
& 4\cdot{}\rlap{/}7\cdot\frac{8x+3}{\rlap{/}7} - \rlap{/}4\cdot 7\cdot\frac{5x-7}{\rlap{/}4} = 4\cdot 7\cdot 2\\[5pt]
&\qquad\Leftrightarrow\quad 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 56\,\textrm{.}
&\qquad\Leftrightarrow\quad 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 56\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
We can simplify the left-hand side to <math>4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\,</math>. Hence, the equation is
+
Jetzt vereinfachen wir die linke Seite
 +
<math>4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\,</math>
 +
und wir haben
-
{{Displayed math||<math>-3x+61=56\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-3x+61=56\,\textrm{.}</math>}}
-
We solve this equation by subtracting 61 from both sides and then dividing by -3,
+
Wir lösen diese Gleichung indem wir beide 61 von beiden Seiten subtrahieren und danach beide Seiten durch 3 dividieren
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-3x+61-61&=56-61\,,\\[5pt]
-3x+61-61&=56-61\,,\\[5pt]
-3x&=-5\,,\\[5pt]
-3x&=-5\,,\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
The answer is <math>x={5}/{3}\,</math>.
+
Die Lösung ist <math>x={5}/{3}\,</math>.
-
As the final part of the solution, check the answer by substituting <math>x={5}/{3}</math> into the original equation
+
Wir kontrollieren die Lösung, indem wir <math>x</math> mit <math>{5}/{3}</math> in der ursprünglichen Gleichung substituieren
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
\text{LHS}
+
\text{Linke Seite}
&= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4}
&= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4}
= \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt]
= \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt]
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= \frac{7}{3}-\frac{1}{3}
= \frac{7}{3}-\frac{1}{3}
= \frac{7-1}{3}
= \frac{7-1}{3}
-
= \frac{6}{3} = 2 = \text{RHS.}
+
= \frac{6}{3} = 2 = \text{Rechte Seite.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Zuerst multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit \displaystyle 4\cdot 7=28, sodass die Nenner in den Brüchen verschwinden,

\displaystyle \begin{align}

& 4\cdot{}\rlap{/}7\cdot\frac{8x+3}{\rlap{/}7} - \rlap{/}4\cdot 7\cdot\frac{5x-7}{\rlap{/}4} = 4\cdot 7\cdot 2\\[5pt] &\qquad\Leftrightarrow\quad 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 56\,\textrm{.} \end{align}

Jetzt vereinfachen wir die linke Seite \displaystyle 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\, und wir haben

\displaystyle -3x+61=56\,\textrm{.}

Wir lösen diese Gleichung indem wir beide 61 von beiden Seiten subtrahieren und danach beide Seiten durch 3 dividieren

\displaystyle \begin{align}

-3x+61-61&=56-61\,,\\[5pt] -3x&=-5\,,\\[5pt] \frac{-3x}{-3}&=\frac{-5}{-3}\,,\\[5pt] x&=\frac{5}{3}\,\textrm{.} \end{align}

Die Lösung ist \displaystyle x={5}/{3}\,.

Wir kontrollieren die Lösung, indem wir \displaystyle x mit \displaystyle {5}/{3} in der ursprünglichen Gleichung substituieren

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4} = \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt] &= \frac{8\cdot 5+3\cdot 3}{7\cdot 3}-\frac{5\cdot 5-7\cdot 3}{4\cdot 3} = \frac{40+9}{21}-\frac{25-21}{12}\\[5pt] &= \frac{49}{21}-\frac{4}{12} = \frac{7\cdot 7}{3\cdot 7} - \frac{2\cdot 2}{2\cdot 2\cdot 3} = \frac{7}{3}-\frac{1}{3} = \frac{7-1}{3} = \frac{6}{3} = 2 = \text{Rechte Seite.} \end{align}

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