Lösung 2.2:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
First, we multiply both sides in the equation by
+
Zuerst multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit <math>4\cdot 7=28</math>, sodass die Nenner in den Brüchen verschwinden,
-
<math>4\centerdot 7=28</math>, so that we get rid of the denominators in the equation,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
& 4\cdot{}\rlap{/}7\cdot\frac{8x+3}{\rlap{/}7} - \rlap{/}4\cdot 7\cdot\frac{5x-7}{\rlap{/}4} = 4\cdot 7\cdot 2\\[5pt]
 +
&\qquad\Leftrightarrow\quad 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 56\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Jetzt vereinfachen wir die linke Seite
-
& 4\centerdot 7\centerdot \frac{8x+3}{7}-4\centerdot 7\centerdot \frac{5x-7}{4}=4\centerdot 7\centerdot 2 \\
+
<math>4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\,</math>
-
& \Leftrightarrow 4\centerdot \left( 8x+3 \right)-7\centerdot \left( 5x-7 \right)=56 \\
+
und wir haben
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>-3x+61=56\,\textrm{.}</math>}}
-
We can simplify the left-hand side to ,
+
Wir lösen diese Gleichung indem wir beide 61 von beiden Seiten subtrahieren und danach beide Seiten durch 3 dividieren
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
-3x+61-61&=56-61\,,\\[5pt]
 +
-3x&=-5\,,\\[5pt]
 +
\frac{-3x}{-3}&=\frac{-5}{-3}\,,\\[5pt]
 +
x&=\frac{5}{3}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>4\centerdot \left( 8x+3 \right)-7\centerdot \left( 5x-7 \right)=32x+12-35x+49=-3x+61</math>
+
Die Lösung ist <math>x={5}/{3}\,</math>.
 +
Wir kontrollieren die Lösung, indem wir <math>x</math> mit <math>{5}/{3}</math> in der ursprünglichen Gleichung substituieren
-
Hence, the equation is
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
 
+
\text{Linke Seite}
-
 
+
&= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4}
-
<math>-3x+61=56</math>
+
= \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt]
-
 
+
&= \frac{8\cdot 5+3\cdot 3}{7\cdot 3}-\frac{5\cdot 5-7\cdot 3}{4\cdot 3}
-
 
+
= \frac{40+9}{21}-\frac{25-21}{12}\\[5pt]
-
We solve this equation by subtracting
+
&= \frac{49}{21}-\frac{4}{12}
-
<math>61</math>
+
= \frac{7\cdot 7}{3\cdot 7} - \frac{2\cdot 2}{2\cdot 2\cdot 3}
-
from both sides and then dividing by
+
= \frac{7}{3}-\frac{1}{3}
-
<math>-3</math>,
+
= \frac{7-1}{3}
-
 
+
= \frac{6}{3} = 2 = \text{Rechte Seite.}
-
 
+
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
-
& -3x+61-61=56-61 \\
+
-
& -3x=-5 \\
+
-
& \frac{-3x}{-3}=\frac{-5}{-3} \\
+
-
& x=\frac{5}{3} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
The answer is
+
-
<math>x={5}/{3}\;</math>.
+
-
 
+
-
As the final part of the solution, check the answer by substituting
+
-
<math>x={5}/{3}\;</math>
+
-
into the original equation
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \text{LHS}\quad =\quad \frac{8\centerdot \frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\centerdot \frac{5}{3}-7}{4}=\frac{\left( 8\centerdot \frac{5}{3}+3 \right)\centerdot 3}{7\centerdot 3}-\frac{\left( 5\centerdot \frac{5}{3}-7 \right)\centerdot 3}{4\centerdot 3} \\
+
-
& \\
+
-
& =\frac{8\centerdot 5+3\centerdot 3}{7\centerdot 3}-\frac{5\centerdot 5-7\centerdot 3}{4\centerdot 3}=\frac{40+9}{21}-\frac{25-21}{12} \\
+
-
& \\
+
-
& =\frac{49}{21}-\frac{4}{12}=\frac{7\centerdot 7}{3\centerdot 7}-\frac{2\centerdot 2}{2\centerdot 2\centerdot 2}=\frac{7}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7-1}{3} \\
+
-
& \\
+
-
& =\frac{6}{3}=2\quad =\quad \text{RHS} \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Zuerst multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit \displaystyle 4\cdot 7=28, sodass die Nenner in den Brüchen verschwinden,

\displaystyle \begin{align}

& 4\cdot{}\rlap{/}7\cdot\frac{8x+3}{\rlap{/}7} - \rlap{/}4\cdot 7\cdot\frac{5x-7}{\rlap{/}4} = 4\cdot 7\cdot 2\\[5pt] &\qquad\Leftrightarrow\quad 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 56\,\textrm{.} \end{align}

Jetzt vereinfachen wir die linke Seite \displaystyle 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\, und wir haben

\displaystyle -3x+61=56\,\textrm{.}

Wir lösen diese Gleichung indem wir beide 61 von beiden Seiten subtrahieren und danach beide Seiten durch 3 dividieren

\displaystyle \begin{align}

-3x+61-61&=56-61\,,\\[5pt] -3x&=-5\,,\\[5pt] \frac{-3x}{-3}&=\frac{-5}{-3}\,,\\[5pt] x&=\frac{5}{3}\,\textrm{.} \end{align}

Die Lösung ist \displaystyle x={5}/{3}\,.

Wir kontrollieren die Lösung, indem wir \displaystyle x mit \displaystyle {5}/{3} in der ursprünglichen Gleichung substituieren

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4} = \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt] &= \frac{8\cdot 5+3\cdot 3}{7\cdot 3}-\frac{5\cdot 5-7\cdot 3}{4\cdot 3} = \frac{40+9}{21}-\frac{25-21}{12}\\[5pt] &= \frac{49}{21}-\frac{4}{12} = \frac{7\cdot 7}{3\cdot 7} - \frac{2\cdot 2}{2\cdot 2\cdot 3} = \frac{7}{3}-\frac{1}{3} = \frac{7-1}{3} = \frac{6}{3} = 2 = \text{Rechte Seite.} \end{align}

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