Lösung 2.2:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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If we divide up the denominators that appear in the equation into small integer factors
+
Wir teilen die Nenner in der Gleichung in ihre Primfaktoren auf, <math>6=2\cdot 3</math>, <math>9=3\cdot 3</math> und 2. Wir sehen, dass der kleinste gemeinsamer Nenner <math>2\cdot 3\cdot 3=18</math> ist. Wir multiplizieren daher beide Seiten mit <math>2\cdot 3\cdot 3</math>, um die Nenner zu eliminieren.
-
<math>6=2\centerdot 3</math>,
+
-
<math>9=3\centerdot 3</math>
+
-
and 2, we see that the lowest common denominator is
+
-
<math>2\centerdot 3\centerdot 3=18</math>. Thus, we multiply both sides of the equation by
+
-
<math>2\centerdot 3\centerdot 3</math>
+
-
in order to avoid having denominators in the equation:
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
& \rlap{/}2\cdot{}\rlap{/}3\cdot 3\cdot\frac{5x}{\rlap{/}6} - 2\cdot{}\rlap{/}3\cdot{}\rlap{/}3\cdot\frac{x+2}{\rlap{/}9} = \rlap{/}2\cdot 3\cdot 3\cdot \frac{1}{\rlap{/}2} \\[5pt]
 +
&\qquad\Leftrightarrow\quad 3\cdot 5x-2\cdot (x+2) = 3\cdot 3\,\textrm{.}\\
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Die linke Seite der Gleichung kann wie <math>3\cdot 5x-2\cdot (x+2) = 15x-2x-4 = 13x-4</math> geschrieben werden und wir bekommen
-
& 2\centerdot 3\centerdot 3\centerdot \frac{5x}{6}-2\centerdot 3\centerdot 3\centerdot \frac{x+2}{9}=2\centerdot 3\centerdot 3\centerdot \frac{1}{2} \\
+
-
& \Leftrightarrow 3\centerdot 5x-2\centerdot \left( x+2 \right)=3\centerdot 3 \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>13x-4=9\,\textrm{.}</math>}}
-
We can rewrite the left-hand side as
+
Jetzt besteht nur mehr eine lineare Gleichung, die wir wie vorher lösen
-
<math>3\centerdot 5x-2\centerdot \left( x+2 \right)=15x-2x-4=13x-4</math>, so that we get the equation
+
 +
<ol>
 +
<li> 4 auf beiden Seiten addiert, <math>\vphantom{x_2}13x-4+4=9+4\,,</math> liefert <math>\ 13x=13\,\textrm{.}</math></li>
 +
<li>Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 13, <math>\frac{13x}{13}=\frac{13}{13}\,,</math> erhalten wir die Lösung <math>\ x=1\,\textrm{.}</math></li>
 +
</ol>
-
<math>13x-4=9</math>
+
Die Gleichung hat die Lösung <math>x=1</math>.
 +
Wir kontrollieren die Lösung, indem wir ''x'' mit 1 in der ursprünglichen Gleichung substituieren
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We can now solve this first-degree equation by carrying out simple arithmetical calculations so as to get
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>x</math>
+
\text{Linke Seite}
-
by itself on one side:
+
&= \frac{5\cdot 1}{6}-\frac{1+2}{9} = \frac{5}{6}-\frac{3}{9} = \frac{5}{6}-\frac{1}{3}\\[5pt]
-
 
+
&= \frac{5}{6}-\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{5-2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
-
1. Add 4 to both sides:
+
= \text{Rechte Seite}\,\textrm{.}
-
+
\end{align}</math>}}
-
<math>13x-+4=9+4</math>
+
-
+
-
which gives
+
-
 
+
-
<math>13x=13</math>
+
-
.
+
-
+
-
2. Divide both sides by 13:
+
-
+
-
<math>\frac{13x}{13}=\frac{13}{13}</math>
+
-
 
+
-
which gives the answer
+
-
<math>x=1</math>.
+
-
 
+
-
The equation has
+
-
<math>1</math>
+
-
as the solution.
+
-
 
+
-
When we have obtained an answer, it is important to go back to the original equation to check that
+
-
<math>x=1</math>
+
-
really is the correct answer( i.e. that we haven't calculated incorrectly):
+
-
 
+
-
LHS =
+
-
<math>\frac{5\centerdot 1}{6}-\frac{1\centerdot 2}{9}=\frac{5}{6}-\frac{3}{9}=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{5}{6}-\frac{1\centerdot 2}{3\centerdot 2}=\frac{5-2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}</math>
+
-
= RHS
+

Aktuelle Version

Wir teilen die Nenner in der Gleichung in ihre Primfaktoren auf, \displaystyle 6=2\cdot 3, \displaystyle 9=3\cdot 3 und 2. Wir sehen, dass der kleinste gemeinsamer Nenner \displaystyle 2\cdot 3\cdot 3=18 ist. Wir multiplizieren daher beide Seiten mit \displaystyle 2\cdot 3\cdot 3, um die Nenner zu eliminieren.

\displaystyle \begin{align}

& \rlap{/}2\cdot{}\rlap{/}3\cdot 3\cdot\frac{5x}{\rlap{/}6} - 2\cdot{}\rlap{/}3\cdot{}\rlap{/}3\cdot\frac{x+2}{\rlap{/}9} = \rlap{/}2\cdot 3\cdot 3\cdot \frac{1}{\rlap{/}2} \\[5pt] &\qquad\Leftrightarrow\quad 3\cdot 5x-2\cdot (x+2) = 3\cdot 3\,\textrm{.}\\ \end{align}

Die linke Seite der Gleichung kann wie \displaystyle 3\cdot 5x-2\cdot (x+2) = 15x-2x-4 = 13x-4 geschrieben werden und wir bekommen

\displaystyle 13x-4=9\,\textrm{.}

Jetzt besteht nur mehr eine lineare Gleichung, die wir wie vorher lösen

  1. 4 auf beiden Seiten addiert, \displaystyle \vphantom{x_2}13x-4+4=9+4\,, liefert \displaystyle \ 13x=13\,\textrm{.}
  2. Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 13, \displaystyle \frac{13x}{13}=\frac{13}{13}\,, erhalten wir die Lösung \displaystyle \ x=1\,\textrm{.}

Die Gleichung hat die Lösung \displaystyle x=1.

Wir kontrollieren die Lösung, indem wir x mit 1 in der ursprünglichen Gleichung substituieren

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= \frac{5\cdot 1}{6}-\frac{1+2}{9} = \frac{5}{6}-\frac{3}{9} = \frac{5}{6}-\frac{1}{3}\\[5pt] &= \frac{5}{6}-\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{5-2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = \text{Rechte Seite}\,\textrm{.} \end{align}

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