Lösung 1.2:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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When we work with large expressions, it is often best to proceed step by step. A first step on the way can be to simplify all the parts
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Bei großen Ausdrücken wie diesem, ist es oft am besten in mehreren Schritten zu arbeiten. Wir beginnen damit folgende Brüche zu vereinfachen
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{{Displayed math||<math>\frac{2}{\,3+\dfrac{1}{2}\vphantom{\Biggl(}\,}\ ,\quad \frac{\dfrac{1}{2}\vphantom{\Biggl(}}{\,\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\vphantom{\Biggl(}\,}\quad\text{and}\quad\frac{3}{\,2-\dfrac{2}{7}\vphantom{\Biggl(}\,}\,</math>.}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{\,3+\dfrac{1}{2}\vphantom{\Biggl(}\,}\ ,\quad \frac{\dfrac{1}{2}\vphantom{\Biggl(}}{\,\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\vphantom{\Biggl(}\,}\quad\text{und}\quad\frac{3}{\,2-\dfrac{2}{7}\vphantom{\Biggl(}\,}\,</math>.}}
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We can do this by multiplying the top and bottom of each fraction by 2, 12 and 7 respectively, so as to get rid of the partial fractions
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Dies kann man machen, indem man die Brüche mit jeweils 2, 12 und 7 erweitert
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\frac{2}{3+\dfrac{1}{2}\vphantom{\Biggl(}} &= \frac{2\cdot 2}{\left( 3+\dfrac{1}{2} \right)\cdot 2\vphantom{\Biggl(}} = \frac{4}{3\cdot 2+\dfrac{1}{2}\cdot 2\vphantom{\Biggl(}} = \frac{4}{6+1} = \frac{4}{7}\,,\\[5pt]
\frac{2}{3+\dfrac{1}{2}\vphantom{\Biggl(}} &= \frac{2\cdot 2}{\left( 3+\dfrac{1}{2} \right)\cdot 2\vphantom{\Biggl(}} = \frac{4}{3\cdot 2+\dfrac{1}{2}\cdot 2\vphantom{\Biggl(}} = \frac{4}{6+1} = \frac{4}{7}\,,\\[5pt]
\frac{\dfrac{1}{2}\vphantom{\Biggl(}}{\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\vphantom{\Biggl(}} &= \frac{\dfrac{1}{2}\cdot 12\vphantom{\Biggl(}}{\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3} \right)\cdot 12\vphantom{\Biggl(}} = \frac{6}{\dfrac{12}{4}-\dfrac{12}{3}\vphantom{\Biggl(}} = \frac{6}{3-4} = \frac{6}{-1} = -6\,,\\[10pt]
\frac{\dfrac{1}{2}\vphantom{\Biggl(}}{\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\vphantom{\Biggl(}} &= \frac{\dfrac{1}{2}\cdot 12\vphantom{\Biggl(}}{\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3} \right)\cdot 12\vphantom{\Biggl(}} = \frac{6}{\dfrac{12}{4}-\dfrac{12}{3}\vphantom{\Biggl(}} = \frac{6}{3-4} = \frac{6}{-1} = -6\,,\\[10pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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The whole expression therefore equals
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Also ist der ganze Ausdruck
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{{Displayed math||<math>\frac{\dfrac{4}{7}-6\vphantom{\Biggl(}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{21}{12}\vphantom{\Biggl(}}\,</math>.}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\dfrac{4}{7}-6\vphantom{\Biggl(}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{21}{12}\vphantom{\Biggl(}}\,</math>.}}
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If we multiply the tops and bottoms of the fractions 4/7, 1/2 and 21/12 in the main fraction by their lowest common denominator, <math>7\cdot 12</math>, we obtain integers in the numerator and denominator
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Indem wir den Hauptbruch mit dem gemeinsamen Nenner von 4/7, 1/2 und 21/12, also <math> 7\cdot 12 </math> , erweitern, bekommen wir einen Bruch ohne Teilbrüche
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\frac{\dfrac{4}{7}-6\vphantom{\Biggl(}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{21}{12}\vphantom{\Biggl(}} &= \frac{\left( \dfrac{4}{7}-6 \right)\cdot 7\cdot 12\vphantom{\Biggl(}}{\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{21}{12} \right)\cdot 7\cdot 12\vphantom{\Biggl(}} = \frac{4\cdot 12-6\cdot 7\cdot 12}{7\cdot 6-21\cdot 7}\\[10pt]
\frac{\dfrac{4}{7}-6\vphantom{\Biggl(}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{21}{12}\vphantom{\Biggl(}} &= \frac{\left( \dfrac{4}{7}-6 \right)\cdot 7\cdot 12\vphantom{\Biggl(}}{\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{21}{12} \right)\cdot 7\cdot 12\vphantom{\Biggl(}} = \frac{4\cdot 12-6\cdot 7\cdot 12}{7\cdot 6-21\cdot 7}\\[10pt]
& =\frac{( 4-6\cdot 7)\cdot 12}{( 6-21)\cdot 7} = \frac{-38\cdot 12}{-15\cdot 7} = \frac{38\cdot 12}{15\cdot 7}\,\textrm{.}
& =\frac{( 4-6\cdot 7)\cdot 12}{( 6-21)\cdot 7} = \frac{-38\cdot 12}{-15\cdot 7} = \frac{38\cdot 12}{15\cdot 7}\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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By factorizing 12, 15 and 38,
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Durch Zerteilung von 12, 15 und 38 in Primfaktoren
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
12 &= 2\cdot 6 = 2\cdot 2\cdot 3\,,\\
12 &= 2\cdot 6 = 2\cdot 2\cdot 3\,,\\
15 &= 3\cdot 5\,,\\
15 &= 3\cdot 5\,,\\
Zeile 30: Zeile 30:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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the answer can be simplified to
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kann der Bruch noch gekürzt werden
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{{Displayed math||<math>\frac{38\cdot 12}{15\cdot 7}=\frac{2\cdot 19\cdot 2\cdot 2\cdot{}\rlap{/}3}{\rlap{/}3\cdot 5\cdot 7}=\frac{153}{35}\,</math>.}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{38\cdot 12}{15\cdot 7}=\frac{2\cdot 19\cdot 2\cdot 2\cdot{}\rlap{/}3}{\rlap{/}3\cdot 5\cdot 7}=\frac{152}{35}\,</math>.}}

Aktuelle Version

Bei großen Ausdrücken wie diesem, ist es oft am besten in mehreren Schritten zu arbeiten. Wir beginnen damit folgende Brüche zu vereinfachen

\displaystyle \frac{2}{\,3+\dfrac{1}{2}\vphantom{\Biggl(}\,}\ ,\quad \frac{\dfrac{1}{2}\vphantom{\Biggl(}}{\,\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\vphantom{\Biggl(}\,}\quad\text{und}\quad\frac{3}{\,2-\dfrac{2}{7}\vphantom{\Biggl(}\,}\,.

Dies kann man machen, indem man die Brüche mit jeweils 2, 12 und 7 erweitert

\displaystyle \begin{align}

\frac{2}{3+\dfrac{1}{2}\vphantom{\Biggl(}} &= \frac{2\cdot 2}{\left( 3+\dfrac{1}{2} \right)\cdot 2\vphantom{\Biggl(}} = \frac{4}{3\cdot 2+\dfrac{1}{2}\cdot 2\vphantom{\Biggl(}} = \frac{4}{6+1} = \frac{4}{7}\,,\\[5pt] \frac{\dfrac{1}{2}\vphantom{\Biggl(}}{\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\vphantom{\Biggl(}} &= \frac{\dfrac{1}{2}\cdot 12\vphantom{\Biggl(}}{\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3} \right)\cdot 12\vphantom{\Biggl(}} = \frac{6}{\dfrac{12}{4}-\dfrac{12}{3}\vphantom{\Biggl(}} = \frac{6}{3-4} = \frac{6}{-1} = -6\,,\\[10pt] \frac{3}{2-\dfrac{2}{7}\vphantom{\Biggl(}} &= \frac{3\cdot 7}{\left( 2-\dfrac{2}{7} \right)\cdot 7\vphantom{\Biggl(}} = \frac{21}{2\cdot 7-\dfrac{2}{7}\cdot 7\vphantom{\Biggl(}} = \frac{21}{14-2} = \frac{21}{12}\,\textrm{.} \end{align}

Also ist der ganze Ausdruck

\displaystyle \frac{\dfrac{4}{7}-6\vphantom{\Biggl(}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{21}{12}\vphantom{\Biggl(}}\,.

Indem wir den Hauptbruch mit dem gemeinsamen Nenner von 4/7, 1/2 und 21/12, also \displaystyle 7\cdot 12 , erweitern, bekommen wir einen Bruch ohne Teilbrüche

\displaystyle \begin{align}

\frac{\dfrac{4}{7}-6\vphantom{\Biggl(}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{21}{12}\vphantom{\Biggl(}} &= \frac{\left( \dfrac{4}{7}-6 \right)\cdot 7\cdot 12\vphantom{\Biggl(}}{\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{21}{12} \right)\cdot 7\cdot 12\vphantom{\Biggl(}} = \frac{4\cdot 12-6\cdot 7\cdot 12}{7\cdot 6-21\cdot 7}\\[10pt] & =\frac{( 4-6\cdot 7)\cdot 12}{( 6-21)\cdot 7} = \frac{-38\cdot 12}{-15\cdot 7} = \frac{38\cdot 12}{15\cdot 7}\,\textrm{.} \end{align}

Durch Zerteilung von 12, 15 und 38 in Primfaktoren

\displaystyle \begin{align}

12 &= 2\cdot 6 = 2\cdot 2\cdot 3\,,\\ 15 &= 3\cdot 5\,,\\ 38 &= 2\cdot 19\,,\\ \end{align}

kann der Bruch noch gekürzt werden

\displaystyle \frac{38\cdot 12}{15\cdot 7}=\frac{2\cdot 19\cdot 2\cdot 2\cdot{}\rlap{/}3}{\rlap{/}3\cdot 5\cdot 7}=\frac{152}{35}\,.
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