Lösung 4.4:7b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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Dies ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen <math>t=\tfrac{1}{2}</math> und <math>t=-2\,</math>. | Dies ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen <math>t=\tfrac{1}{2}</math> und <math>t=-2\,</math>. | ||
| - | Also muss ''x'' einer der Gleichungen <math>\cos x = \tfrac{1}{2}</math> oder <math>\cos x = -2</math> | + | Also muss ''x'' einer der Gleichungen <math>\cos x = \tfrac{1}{2}</math> oder <math>\cos x = -2</math> erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen |
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\pm \frac{\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x=\pm \frac{\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}} | ||
Aktuelle Version
Wir verwenden den trigonometrischen Pythagoras und schreiben \displaystyle \sin^2\!x als \displaystyle 1-\cos^2\!x. Wir erhalten die Gleichung
| \displaystyle 2(1-\cos^2\!x) - 3\cos x = 0\, |
oder auch
| \displaystyle 2\cos^2\!x + 3\cos x - 2 = 0\,\textrm{.} |
Wir betrachten diese Gleichung nun als eine in der Unbekannten \displaystyle \cos x und schreiben stattdessen
| \displaystyle 2t^2+3t-2 = 0 |
mit \displaystyle \cos x=t\,.
Dies ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen \displaystyle t=\tfrac{1}{2} und \displaystyle t=-2\,.
Also muss x einer der Gleichungen \displaystyle \cos x = \tfrac{1}{2} oder \displaystyle \cos x = -2 erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen
| \displaystyle x=\pm \frac{\pi}{3}+2n\pi\,, |
während die zweite Gleichung \displaystyle \cos x = -2 keine Lösungen hat.
Also hat die Gleichung die Lösungen
| \displaystyle x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi\,, |
