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Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	<center> [[Image:3_4_2b-2(2).gif]] </center>	+	und sehen, dass <math>x</math> nur in den <math>e^{x}</math>-Termen vorkommt. Daher betrachten wir <math>e^{x}</math> als unbekannte Variable. Wenn wir <math>e^{x}</math> bestimmt haben, bestimmen wir <math>x</math>, indem wir die Gleichung logarithmieren.
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		+	Um die Rechnungen zu vereinfachen, schreiben wir <math>t=e^{x}</math> und erhalten so die Gleichung
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>t^{2}+t=4</math>}}
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		+	Diese quadratische Gleichung lösen wir durch quadratische Ergänzung,
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>t^{2}+t = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2}-\Bigl( \frac{1}{2} \Bigr)^{2} = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2} - \frac{1}{4}\,,</math>}}
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		+	und wir erhalten
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(t+\frac{1}{2}\Bigr)^{2} - \frac{1}{4} = 4\quad \Leftrightarrow \quad t = -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}
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		+	Die Wurzeln sind also zwei mögliche Werte für <math>e^{x}</math>,
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\qquad\text{oder}\qquad e^{x} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}
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		+	Im ersten Fall ist die rechte Seite der Gleichung negativ, und nachdem die linke Seite immer positiv ist, hat diese Gleichung keine Lösung.
		+	Im anderen Fall sind aber beide Seiten positiv, und wir logarithmieren beide Seiten und erhalten
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x=\ln \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
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		+	Hinweis: In diesem Fall ist es schwierig, die Lösung in der ursprünglichen Gleichung zu testen. Statt dessen testen wir, ob <math>t=\sqrt{17}/2-1/2</math> die Gleichung <math>t^2+t=4</math> erfüllt:
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	\text{Linke Seite}
		+	&= \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\\[5pt]
		+	&= \frac{17}{4}-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{17}}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\\[5pt]
		+	&= \frac{17}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\\[5pt]
		+	&= \frac{17+1-2}{4}\\[5pt]
		+	&=\frac{16}{4}\\[5pt]
		+	&= 4\\[5pt]
		+	&= \text{Rechte Seite.}
		+	\end{align}</math>}}

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Aktuelle Version

Wir schreiben die Gleichung als

ex2+ex=4

und sehen, dass x nur in den ex-Termen vorkommt. Daher betrachten wir ex als unbekannte Variable. Wenn wir ex bestimmt haben, bestimmen wir x, indem wir die Gleichung logarithmieren.

Um die Rechnungen zu vereinfachen, schreiben wir t=ex und erhalten so die Gleichung

t2+t=4

Diese quadratische Gleichung lösen wir durch quadratische Ergänzung,

t2+t=t+212−212=t+212−41

und wir erhalten

t+212−41=4t=−21217.

Die Wurzeln sind also zwei mögliche Werte für ex,

ex=−21−217oderex=−21+217.

Im ersten Fall ist die rechte Seite der Gleichung negativ, und nachdem die linke Seite immer positiv ist, hat diese Gleichung keine Lösung. Im anderen Fall sind aber beide Seiten positiv, und wir logarithmieren beide Seiten und erhalten

x=ln217−21.

Hinweis: In diesem Fall ist es schwierig, die Lösung in der ursprünglichen Gleichung zu testen. Statt dessen testen wir, ob t=172−12  die Gleichung t2+t=4 erfüllt:

Linke Seite=217−212+217−21=417−221217+41+217−21=417+41−21=417+1−2=416=4=Rechte Seite.