Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Aktuelle Version

Wir subtrahieren zuerst 2 von beiden Seiten und erhalten so die Gleichung \displaystyle \sqrt{3x-8}=x-2, die wir quadrieren:

\displaystyle 3x-8 = (x-2)^{2}\,.

(*)

Wir erweitern die rechte Seite

\displaystyle 3x-8=x^{2}-4x+4\,\textrm{.}

Wenn wir alle Terme auf der linken Seite sammeln, erhalten wir

\displaystyle x^{2}-7x+12=0\,\textrm{.}

Mit quadratischer Ergänzung bekommen wir

\displaystyle \begin{align} x^2-7x+12 &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2 + 12\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{48}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} \end{align}

Wir können die Gleichung umschreiben

\displaystyle \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}

und sehen, dass die Lösungen

• \displaystyle x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4\,,

• \displaystyle x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\textrm{.}

sind. Wir kontrollieren zur Sicherheit, ob die Lösungen die quadratische Gleichung (*) erfüllen

x = 3:	\displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 3-8 = 9-8 = 1 und
	\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (3-2)^2 = 1
x = 4:	\displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 4-8 = 12-8 = 4 und
	\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (4-2)^2 = 4

Nachdem wir unsere Gleichung quadriert haben, müssen wir unbedingt testen, ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen:

x = 3:	\displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 3-8} + 2 = \sqrt{9-8} + 2 = 1+2 = 3 und
	\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 3
x = 4:	\displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 4-8} + 2 = \sqrt{12-8}+2 = 2+2 = 4 und
	\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 4

Die Lösungen sind also \displaystyle x=3 und \displaystyle x=4.