Lösung 3.2:1 - Online Mathematik Brückenkurs 1

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                      1. Numerische Berechnungen
                       
                        1.1 Verschiedene Zahlen 
                        1.2 Brüche 
                        1.3 Potenzen
                      
                    
                      2. Algebra
                       
                        2.1 Algebraische Ausdrücke 
                        2.2 Lineare Gleichungen 
                        2.3 Quadratische Gleichungen
                      
                    
                      3. Wurzeln und Logarithmen
                       
                        3.1 Wurzeln 
                        3.2 Wurzelgleichungen 
                        3.3 Logarithmen 
                        3.4 Logarithmusgleichungen
                      
                    
                      4. Trigonometrie
                       
                        4.1 Winkel und Kreise 
                        4.2 Trig. Funktionen 
                        4.3 Trig. Eigenschaften 
                        4.4 Trig. Gleichungen
                      
                    
                      5. Schriftliche Mathematik
                       
                        5.1 Formeln schreiben 
                        5.2 Texte schreiben
                      
                    
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			Lösung 3.2:1
			
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				Version vom 14:27, 22. Okt. 2008 (bearbeiten)
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- In order to get rid of the root sign in the equation, we square both sides + Wir quadrieren zuerst beide Seiten der Gleichung
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}</math>|(*)}}
  
- It is important to remember that this step means that we are now working with a new equation which may have solutions which the equation that we started with did not have. At the end, it will therefore be necessary for us to check that the solutions that we calculate satisfy the original equation also. + Wir müssen uns daran erinnern, dass dies eine neue Gleichung ist, die Scheinlösungen enthalten kann. Deshalb müssen wir zum Schluss unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung testen.
  
- If we continue with the squared equation and expand the right-hand side, we get a second order equation + Wenn wir die rechte Seite der Gleichung erweitern, bekommen wir eine quadratische Gleichung
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>|(*)}} + {{Abgesetzte Formel||<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>}}
  
- i.e. + d.h.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}</math>}}
  
- We complete the square of the left-hand side + Wir benutzen quadratische Ergänzung
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 22:
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- which gives the equation + und erhalten die Gleichung
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}\,,</math>}}
  
- which has the solutions + die die Lösungen
  
 :*<math>x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,</math>  :*<math>x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,</math>
Zeile 32:
Zeile 32:
 :*<math>x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}</math>  :*<math>x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}</math>
  
- Just to be on the safe side, we check whether we have solved the second-order equation (*) correctly by substituting <math>x=5</math> and <math>x=8</math> into it: + hat. Um sicher zu sein, kontrollieren wir ob die Lösungen <math>x=5</math> und <math>x=8</math> die quadratische Gleichung (*) erfüllen:
  
- :*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{LHS} = 5-4 = 1\ </math> and <math>\ \text{RHS} = (6-5)^2 = 1</math> + :*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{Linke Seite} = 5-4 = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-5)^2 = 1</math>
  
- :*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{LHS} = 8-4 = 4\ </math> and <math>\ \text{RHS} = (6-8)^{2} = 4</math> + :*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{Linke Seite} = 8-4 = 4\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-8)^{2} = 4</math>
  
- Then, we must test the solutions <math>x=5</math> and <math>x=8</math> in the original equation: + Jetzt müssen wir unbedingt unsere beiden Lösungen in der ursprünglichen Gleichung substituieren:
  
- :*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{LHS} = \sqrt{5-4} = 1\ </math> and <math>\ \text{RHS} = 6-5 = 1</math> + :*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{5-4} = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 6-5 = 1</math>
  
- :*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{LHS} = \sqrt{8-4} = 2\ </math> and <math>\ \text{RHS} = 6-8 = -2</math> + :*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{8-4} = 2\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 6-8 = -2</math>
  
- This shows that <math>x=5</math> is a solution to the original equation, whilst + Also ist <math>x=5</math> eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während <math>x=8</math> eine Scheinlösung ist.
- <math>x=8</math> is a spurious root. + 
  
-   + Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir nichts falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch Quadrieren der Gleichung.
- Note: That we get a spurious root does not mean that we calculated incorrectly, but is totally the result of squaring the equation. + 
Aktuelle Version
Wir quadrieren zuerst beide Seiten der Gleichung





\displaystyle x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}
(*)

Wir müssen uns daran erinnern, dass dies eine neue Gleichung ist, die Scheinlösungen enthalten kann. Deshalb müssen wir zum Schluss unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung testen.
Wenn wir die rechte Seite der Gleichung erweitern, bekommen wir eine quadratische Gleichung





\displaystyle x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}


d.h.





\displaystyle x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}


Wir benutzen quadratische Ergänzung





\displaystyle \begin{align}
x^2-13x+40
&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{13}{2}\Bigr)^2 + 40\\[5pt] 
&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{169}{4} + \frac{160}{4}\\[5pt]
&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{9}{4}\,\textrm{,} 
\end{align}



und erhalten die Gleichung





\displaystyle \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}\,,


die die Lösungen

\displaystyle x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,


\displaystyle x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}


hat. Um sicher zu sein, kontrollieren wir ob die Lösungen \displaystyle x=5 und \displaystyle x=8 die quadratische Gleichung (*) erfüllen:

x = 5: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 5-4 = 1\  und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (6-5)^2 = 1


x = 8: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 8-4 = 4\  und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (6-8)^{2} = 4


Jetzt müssen wir unbedingt unsere beiden Lösungen in der ursprünglichen Gleichung substituieren:

x = 5: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{5-4} = 1\  und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 6-5 = 1


x = 8: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{8-4} = 2\  und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 6-8 = -2


Also ist \displaystyle x=5 eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während \displaystyle x=8 eine Scheinlösung ist.
Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir nichts falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch Quadrieren der Gleichung.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.2:1“
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                        1.1 Verschiedene Zahlen 
                        1.2 Brüche 
                        1.3 Potenzen
                      
                    
                      2. Algebra
                       
                        2.1 Algebraische Ausdrücke 
                        2.2 Lineare Gleichungen 
                        2.3 Quadratische Gleichungen
                      
                    
                      3. Wurzeln und Logarithmen
                       
                        3.1 Wurzeln 
                        3.2 Wurzelgleichungen 
                        3.3 Logarithmen 
                        3.4 Logarithmusgleichungen
                      
                    
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                        4.2 Trig. Funktionen 
                        4.3 Trig. Eigenschaften 
                        4.4 Trig. Gleichungen
                      
                    
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- In order to get rid of the root sign in the equation, we square both sides + Wir quadrieren zuerst beide Seiten der Gleichung
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}</math>|(*)}}
  
- It is important to remember that this step means that we are now working with a new equation which may have solutions which the equation that we started with did not have. At the end, it will therefore be necessary for us to check that the solutions that we calculate satisfy the original equation also. + Wir müssen uns daran erinnern, dass dies eine neue Gleichung ist, die Scheinlösungen enthalten kann. Deshalb müssen wir zum Schluss unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung testen.
  
- If we continue with the squared equation and expand the right-hand side, we get a second order equation + Wenn wir die rechte Seite der Gleichung erweitern, bekommen wir eine quadratische Gleichung
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>|(*)}} + {{Abgesetzte Formel||<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>}}
  
- i.e. + d.h.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}</math>}}
  
- We complete the square of the left-hand side + Wir benutzen quadratische Ergänzung
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 22:
Zeile 22:
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- which gives the equation + und erhalten die Gleichung
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}\,,</math>}}
  
- which has the solutions + die die Lösungen
  
 :*<math>x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,</math>  :*<math>x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,</math>
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 :*<math>x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}</math>  :*<math>x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}</math>
  
- Just to be on the safe side, we check whether we have solved the second-order equation (*) correctly by substituting <math>x=5</math> and <math>x=8</math> into it: + hat. Um sicher zu sein, kontrollieren wir ob die Lösungen <math>x=5</math> und <math>x=8</math> die quadratische Gleichung (*) erfüllen:
  
- :*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{LHS} = 5-4 = 1\ </math> and <math>\ \text{RHS} = (6-5)^2 = 1</math> + :*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{Linke Seite} = 5-4 = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-5)^2 = 1</math>
  
- :*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{LHS} = 8-4 = 4\ </math> and <math>\ \text{RHS} = (6-8)^{2} = 4</math> + :*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{Linke Seite} = 8-4 = 4\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-8)^{2} = 4</math>
  
- Then, we must test the solutions <math>x=5</math> and <math>x=8</math> in the original equation: + Jetzt müssen wir unbedingt unsere beiden Lösungen in der ursprünglichen Gleichung substituieren:
  
- :*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{LHS} = \sqrt{5-4} = 1\ </math> and <math>\ \text{RHS} = 6-5 = 1</math> + :*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{5-4} = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 6-5 = 1</math>
  
- :*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{LHS} = \sqrt{8-4} = 2\ </math> and <math>\ \text{RHS} = 6-8 = -2</math> + :*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{8-4} = 2\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 6-8 = -2</math>
  
- This shows that <math>x=5</math> is a solution to the original equation, whilst + Also ist <math>x=5</math> eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während <math>x=8</math> eine Scheinlösung ist.
- <math>x=8</math> is a spurious root. + 
  
-   + Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir nichts falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch Quadrieren der Gleichung.
- Note: That we get a spurious root does not mean that we calculated incorrectly, but is totally the result of squaring the equation. + 
Aktuelle Version
Wir quadrieren zuerst beide Seiten der Gleichung





\displaystyle x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}
(*)

Wir müssen uns daran erinnern, dass dies eine neue Gleichung ist, die Scheinlösungen enthalten kann. Deshalb müssen wir zum Schluss unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung testen.
Wenn wir die rechte Seite der Gleichung erweitern, bekommen wir eine quadratische Gleichung





\displaystyle x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}


d.h.





\displaystyle x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}


Wir benutzen quadratische Ergänzung





\displaystyle \begin{align}
x^2-13x+40
&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{13}{2}\Bigr)^2 + 40\\[5pt] 
&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{169}{4} + \frac{160}{4}\\[5pt]
&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{9}{4}\,\textrm{,} 
\end{align}



und erhalten die Gleichung





\displaystyle \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}\,,


die die Lösungen

\displaystyle x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,


\displaystyle x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}


hat. Um sicher zu sein, kontrollieren wir ob die Lösungen \displaystyle x=5 und \displaystyle x=8 die quadratische Gleichung (*) erfüllen:

x = 5: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 5-4 = 1\  und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (6-5)^2 = 1


x = 8: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 8-4 = 4\  und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (6-8)^{2} = 4


Jetzt müssen wir unbedingt unsere beiden Lösungen in der ursprünglichen Gleichung substituieren:

x = 5: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{5-4} = 1\  und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 6-5 = 1


x = 8: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{8-4} = 2\  und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 6-8 = -2


Also ist \displaystyle x=5 eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während \displaystyle x=8 eine Scheinlösung ist.
Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir nichts falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch Quadrieren der Gleichung.

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                        2.1 Algebraische Ausdrücke 
                        2.2 Lineare Gleichungen 
                        2.3 Quadratische Gleichungen
                      
                    
                      3. Wurzeln und Logarithmen
                       
                        3.1 Wurzeln 
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                      4. Trigonometrie
                       
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                        4.2 Trig. Funktionen 
                        4.3 Trig. Eigenschaften 
                        4.4 Trig. Gleichungen
                      
                    
                      5. Schriftliche Mathematik
                       
                        5.1 Formeln schreiben 
                        5.2 Texte schreiben
                      
                    
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- In order to get rid of the root sign in the equation, we square both sides + Wir quadrieren zuerst beide Seiten der Gleichung
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}</math>|(*)}}
  
- It is important to remember that this step means that we are now working with a new equation which may have solutions which the equation that we started with did not have. At the end, it will therefore be necessary for us to check that the solutions that we calculate satisfy the original equation also. + Wir müssen uns daran erinnern, dass dies eine neue Gleichung ist, die Scheinlösungen enthalten kann. Deshalb müssen wir zum Schluss unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung testen.
  
- If we continue with the squared equation and expand the right-hand side, we get a second order equation + Wenn wir die rechte Seite der Gleichung erweitern, bekommen wir eine quadratische Gleichung
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>|(*)}} + {{Abgesetzte Formel||<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>}}
  
- i.e. + d.h.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}</math>}}
  
- We complete the square of the left-hand side + Wir benutzen quadratische Ergänzung
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- which gives the equation + und erhalten die Gleichung
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}\,,</math>}}
  
- which has the solutions + die die Lösungen
  
 :*<math>x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,</math>  :*<math>x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,</math>
Zeile 32:
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 :*<math>x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}</math>  :*<math>x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}</math>
  
- Just to be on the safe side, we check whether we have solved the second-order equation (*) correctly by substituting <math>x=5</math> and <math>x=8</math> into it: + hat. Um sicher zu sein, kontrollieren wir ob die Lösungen <math>x=5</math> und <math>x=8</math> die quadratische Gleichung (*) erfüllen:
  
- :*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{LHS} = 5-4 = 1\ </math> and <math>\ \text{RHS} = (6-5)^2 = 1</math> + :*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{Linke Seite} = 5-4 = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-5)^2 = 1</math>
  
- :*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{LHS} = 8-4 = 4\ </math> and <math>\ \text{RHS} = (6-8)^{2} = 4</math> + :*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{Linke Seite} = 8-4 = 4\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-8)^{2} = 4</math>
  
- Then, we must test the solutions <math>x=5</math> and <math>x=8</math> in the original equation: + Jetzt müssen wir unbedingt unsere beiden Lösungen in der ursprünglichen Gleichung substituieren:
  
- :*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{LHS} = \sqrt{5-4} = 1\ </math> and <math>\ \text{RHS} = 6-5 = 1</math> + :*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{5-4} = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 6-5 = 1</math>
  
- :*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{LHS} = \sqrt{8-4} = 2\ </math> and <math>\ \text{RHS} = 6-8 = -2</math> + :*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{8-4} = 2\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 6-8 = -2</math>
  
- This shows that <math>x=5</math> is a solution to the original equation, whilst + Also ist <math>x=5</math> eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während <math>x=8</math> eine Scheinlösung ist.
- <math>x=8</math> is a spurious root. + 
  
-   + Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir nichts falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch Quadrieren der Gleichung.
- Note: That we get a spurious root does not mean that we calculated incorrectly, but is totally the result of squaring the equation. + 
Aktuelle Version
Wir quadrieren zuerst beide Seiten der Gleichung





\displaystyle x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}
(*)

Wir müssen uns daran erinnern, dass dies eine neue Gleichung ist, die Scheinlösungen enthalten kann. Deshalb müssen wir zum Schluss unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung testen.
Wenn wir die rechte Seite der Gleichung erweitern, bekommen wir eine quadratische Gleichung





\displaystyle x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}


d.h.





\displaystyle x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}


Wir benutzen quadratische Ergänzung





\displaystyle \begin{align}
x^2-13x+40
&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{13}{2}\Bigr)^2 + 40\\[5pt] 
&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{169}{4} + \frac{160}{4}\\[5pt]
&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{9}{4}\,\textrm{,} 
\end{align}



und erhalten die Gleichung





\displaystyle \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}\,,


die die Lösungen

\displaystyle x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,


\displaystyle x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}


hat. Um sicher zu sein, kontrollieren wir ob die Lösungen \displaystyle x=5 und \displaystyle x=8 die quadratische Gleichung (*) erfüllen:

x = 5: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 5-4 = 1\  und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (6-5)^2 = 1


x = 8: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 8-4 = 4\  und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (6-8)^{2} = 4


Jetzt müssen wir unbedingt unsere beiden Lösungen in der ursprünglichen Gleichung substituieren:

x = 5: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{5-4} = 1\  und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 6-5 = 1


x = 8: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{8-4} = 2\  und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 6-8 = -2


Also ist \displaystyle x=5 eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während \displaystyle x=8 eine Scheinlösung ist.
Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir nichts falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch Quadrieren der Gleichung.

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-In order to get rid of the root sign in the equation, we square both sides
+Wir quadrieren zuerst beide Seiten der Gleichung
-{{Abgesetzte Formel||<math>x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}</math>}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}</math>|(*)}}
-It is important to remember that this step means that we are now working with a new equation which may have solutions which the equation that we started with did not have. At the end, it will therefore be necessary for us to check that the solutions that we calculate satisfy the original equation also.
+Wir müssen uns daran erinnern, dass dies eine neue Gleichung ist, die Scheinlösungen enthalten kann. Deshalb müssen wir zum Schluss unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung testen.
-If we continue with the squared equation and expand the right-hand side, we get a second order equation
+Wenn wir die rechte Seite der Gleichung erweitern, bekommen wir eine quadratische Gleichung
-{{Abgesetzte Formel||<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>|(*)}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>}}
-i.e.
+d.h.
 {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}</math>}}
-We complete the square of the left-hand side
+Wir benutzen quadratische Ergänzung
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
 \end{align}</math>}}
-which gives the equation
+und erhalten die Gleichung
-{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}</math>}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}\,,</math>}}
-which has the solutions
+die die Lösungen
 :*<math>x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,</math>
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 :*<math>x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}</math>
-Just to be on the safe side, we check whether we have solved the second-order equation (*) correctly by substituting <math>x=5</math> and <math>x=8</math> into it:
+hat. Um sicher zu sein, kontrollieren wir ob die Lösungen <math>x=5</math> und <math>x=8</math> die quadratische Gleichung (*) erfüllen:
-:*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{LHS} = 5-4 = 1\ </math> and <math>\ \text{RHS} = (6-5)^2 = 1</math>
+:*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{Linke Seite} = 5-4 = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-5)^2 = 1</math>
-:*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{LHS} = 8-4 = 4\ </math> and <math>\ \text{RHS} = (6-8)^{2} = 4</math>
+:*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{Linke Seite} = 8-4 = 4\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-8)^{2} = 4</math>
-Then, we must test the solutions <math>x=5</math> and <math>x=8</math> in the original equation:
+Jetzt müssen wir unbedingt unsere beiden Lösungen in der ursprünglichen Gleichung substituieren:
-:*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{LHS} = \sqrt{5-4} = 1\ </math> and <math>\ \text{RHS} = 6-5 = 1</math>
+:*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{5-4} = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 6-5 = 1</math>
-:*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{LHS} = \sqrt{8-4} = 2\ </math> and <math>\ \text{RHS} = 6-8 = -2</math>
+:*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{8-4} = 2\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 6-8 = -2</math>
-This shows that <math>x=5</math> is a solution to the original equation, whilst
+Also ist <math>x=5</math> eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während <math>x=8</math> eine Scheinlösung ist.
-<math>x=8</math> is a spurious root.
+Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir nichts falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch Quadrieren der Gleichung.
-Note: That we get a spurious root does not mean that we calculated incorrectly, but is totally the result of squaring the equation.
-\displaystyle x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}
+(*)
 \displaystyle x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}
 \displaystyle x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}
 \displaystyle \begin{align}
x^2-13x+40
&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{13}{2}\Bigr)^2 + 40\\[5pt] 
&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{169}{4} + \frac{160}{4}\\[5pt]
&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{9}{4}\,\textrm{,} 
\end{align}
 \displaystyle \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}\,,