Lösung 3.2:1

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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In order to get rid of the root sign in the equation, we square both sides:
+
Wir quadrieren zuerst beide Seiten der Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}</math>|(*)}}
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<math>x-4=\left( 6-x \right)^{2}</math>
+
Wir müssen uns daran erinnern, dass dies eine neue Gleichung ist, die Scheinlösungen enthalten kann. Deshalb müssen wir zum Schluss unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung testen.
 +
Wenn wir die rechte Seite der Gleichung erweitern, bekommen wir eine quadratische Gleichung
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It is important to remember that this step means that we are now working with a new equation which may have solutions which the equation that we started with did not have. At the end, it will therefore be necessary for us to check that the solutions that we calculate satisfy the original equation also.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>}}
-
If we continue with the squared equation and expand the right-hand side, we get a second order equation
+
d.h.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}</math>}}
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<math>x-4=36-12x+x^{2}</math>
+
Wir benutzen quadratische Ergänzung
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
x^2-13x+40
 +
&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{13}{2}\Bigr)^2 + 40\\[5pt]
 +
&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{169}{4} + \frac{160}{4}\\[5pt]
 +
&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{9}{4}\,\textrm{,}
 +
\end{align}</math>}}
-
i.e.
+
und erhalten die Gleichung
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}\,,</math>}}
-
<math>x^{2}-12x+40=0</math>
+
die die Lösungen
 +
:*<math>x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,</math>
-
We complete the square of the left-hand side
+
:*<math>x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}</math>
 +
hat. Um sicher zu sein, kontrollieren wir ob die Lösungen <math>x=5</math> und <math>x=8</math> die quadratische Gleichung (*) erfüllen:
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<math>\begin{align}
+
:*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{Linke Seite} = 5-4 = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-5)^2 = 1</math>
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& x^{2}-12x+40=\left( x-\frac{13}{2} \right)^{2}-\left( \frac{13}{2} \right)^{2}+40 \\
+
-
& =\left( x-\frac{13}{2} \right)^{2}-\frac{169}{4}+\frac{160}{4}=\left( x-\frac{13}{2} \right)^{2}-\frac{9}{4} \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
:*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{Linke Seite} = 8-4 = 4\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-8)^{2} = 4</math>
-
which gives the equation
+
Jetzt müssen wir unbedingt unsere beiden Lösungen in der ursprünglichen Gleichung substituieren:
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;5: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{5-4} = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 6-5 = 1</math>
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<math>\left( x-\frac{13}{2} \right)^{2}=\frac{9}{4}</math>
+
:*''x''&nbsp;=&nbsp;8: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{8-4} = 2\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 6-8 = -2</math>
 +
Also ist <math>x=5</math> eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während <math>x=8</math> eine Scheinlösung ist.
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which has the solutions
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Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir nichts falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch Quadrieren der Gleichung.
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<math>x=\frac{13}{2}+\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{13}{2}+\frac{3}{2}=\frac{16}{2}=8</math>
+
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<math>x=\frac{13}{2}-\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{13}{2}-\frac{3}{2}=\frac{10}{2}=5</math>
+
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+
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Just to be on the safe side, we check whether we have solved the second-order equation (*) correctly by substituting x=5 and x=8 into it.
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+
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<math>x=\text{5}</math>: LHS
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<math>=5-4=1</math>
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and RHS
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<math>=\left( 6-5 \right)^{2}=1</math>
+
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+
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<math>x=\text{8}</math>: LHS
+
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<math>=8-4=4</math>
+
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and RHS
+
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<math>=\left( 6-8 \right)^{2}=4</math>
+
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+
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+
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Then, we must test the solutions x=5 and x=8 in the original equation:
+
-
 
+
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x=5: LHS
+
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<math>=\sqrt{5-4}=1</math>
+
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and RHS
+
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<math>=6-5=1</math>
+
-
 
+
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x=8: LHS
+
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<math>=\sqrt{8-4}=2</math>
+
-
and RHS
+
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<math>=6-8=-2</math>
+
-
+
-
 
+
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This shows that
+
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<math>x=\text{5 }</math>
+
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is a solution to the original equation, whilst
+
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<math>x=\text{8 }</math>
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is a false root.
+
-
 
+
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NOTE: That we get a false root does not mean that we calculated incorrectly, but is totally the result of squaring the equation.
+

Aktuelle Version

Wir quadrieren zuerst beide Seiten der Gleichung

\displaystyle x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.} (*)

Wir müssen uns daran erinnern, dass dies eine neue Gleichung ist, die Scheinlösungen enthalten kann. Deshalb müssen wir zum Schluss unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung testen.

Wenn wir die rechte Seite der Gleichung erweitern, bekommen wir eine quadratische Gleichung

\displaystyle x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}

d.h.

\displaystyle x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}

Wir benutzen quadratische Ergänzung

\displaystyle \begin{align}

x^2-13x+40 &= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{13}{2}\Bigr)^2 + 40\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{169}{4} + \frac{160}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{9}{4}\,\textrm{,} \end{align}

und erhalten die Gleichung

\displaystyle \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}\,,

die die Lösungen

  • \displaystyle x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,
  • \displaystyle x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}

hat. Um sicher zu sein, kontrollieren wir ob die Lösungen \displaystyle x=5 und \displaystyle x=8 die quadratische Gleichung (*) erfüllen:

  • x = 5: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 5-4 = 1\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (6-5)^2 = 1
  • x = 8: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 8-4 = 4\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (6-8)^{2} = 4

Jetzt müssen wir unbedingt unsere beiden Lösungen in der ursprünglichen Gleichung substituieren:

  • x = 5: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{5-4} = 1\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 6-5 = 1
  • x = 8: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{8-4} = 2\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 6-8 = -2

Also ist \displaystyle x=5 eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während \displaystyle x=8 eine Scheinlösung ist.

Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir nichts falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch Quadrieren der Gleichung.

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