Lösung 3.1:8d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Wir schreiben die beiden Ausdrücke als Potenz
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= 2^{1/2}3^{3/4},\\[5pt]
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Obwohl <math>2^{1/2} > 2^{1/3}</math> und <math>3^1 > 3^{3/4}</math>, können wir daraus nicht bestimmen, welcher Ausdruck am größten ist. Wir sehen aber, dass die Exponenten 1/2, 3/4, 1/3 und 1 den gemeinsamen Nenner <math>3\cdot 4 = 12</math> haben, und wir können die Exponenten daher faktorisieren
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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2^{1/2}3^{3/4}
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&= 2^{6/12}3^{(3\cdot 3)/12}
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= \bigl(2^{6}\cdot 3^{9}\bigr)^{1/12},\\[5pt]
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2^{1/3}3^{1}
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&= 2^{4/12}3^{12/12}
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= \bigl(2^{4}\cdot 3^{12}\bigr)^{1/12}\,\textrm{.}
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Jetzt vergleichen wir die Basen <math>2^6\cdot 3^9</math> und <math>2^4\cdot 3^{12}</math>, um zu sehen welcher Ausdruck am größten ist. Nachdem
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2^6\cdot 3^9}{2^4\cdot 3^{12}} = 2^{6-4}3^{9-12} = 2^{2}3^{-3} = \frac{2^{2}}{3^{3}} = \frac{4}{27} < 1</math>}}
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der Nenner <math>2^{4}\cdot 3^{12}</math> größer als der Zähler <math>2^6\cdot 3^9</math> ist, ist <math>\sqrt[3]{2}\cdot 3</math>
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größer als <math>\sqrt{2}\bigl(\sqrt[4]{3}\bigr)^{3}</math>.

Aktuelle Version

Wir schreiben die beiden Ausdrücke als Potenz

\displaystyle \begin{align}

\sqrt{2}\bigl(\sqrt[4]{3}\bigr)^{3} &= 2^{1/2}\bigl(3^{1/4}\bigr)^{3} = 2^{1/2}3^{3/4},\\[5pt] \sqrt[3]{2}\cdot 3 &= 2^{1/3}3^{1}\,\textrm{.} \end{align}

Obwohl \displaystyle 2^{1/2} > 2^{1/3} und \displaystyle 3^1 > 3^{3/4}, können wir daraus nicht bestimmen, welcher Ausdruck am größten ist. Wir sehen aber, dass die Exponenten 1/2, 3/4, 1/3 und 1 den gemeinsamen Nenner \displaystyle 3\cdot 4 = 12 haben, und wir können die Exponenten daher faktorisieren

\displaystyle \begin{align}

2^{1/2}3^{3/4} &= 2^{6/12}3^{(3\cdot 3)/12} = \bigl(2^{6}\cdot 3^{9}\bigr)^{1/12},\\[5pt] 2^{1/3}3^{1} &= 2^{4/12}3^{12/12} = \bigl(2^{4}\cdot 3^{12}\bigr)^{1/12}\,\textrm{.} \end{align}

Jetzt vergleichen wir die Basen \displaystyle 2^6\cdot 3^9 und \displaystyle 2^4\cdot 3^{12}, um zu sehen welcher Ausdruck am größten ist. Nachdem

\displaystyle \frac{2^6\cdot 3^9}{2^4\cdot 3^{12}} = 2^{6-4}3^{9-12} = 2^{2}3^{-3} = \frac{2^{2}}{3^{3}} = \frac{4}{27} < 1

der Nenner \displaystyle 2^{4}\cdot 3^{12} größer als der Zähler \displaystyle 2^6\cdot 3^9 ist, ist \displaystyle \sqrt[3]{2}\cdot 3 größer als \displaystyle \sqrt{2}\bigl(\sqrt[4]{3}\bigr)^{3}.

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