Lösung 2.1:4b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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{{Abgesetzte Formel||<math>(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4})</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4})</math>}} | ||
| - | erweitern, wird | + | erweitern, wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert, also |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | Falls wir wie in diesem Fall nur den ''x''-Koeffizienten wissen wollen, genügt es wenn wir die Terme | + | Falls wir wie in diesem Fall nur den ''x''-Koeffizienten wissen wollen, genügt es wenn wir die Terme, die multipliziert einen ''x''-Term ergeben, multiplizieren. In diesem Fall entspricht das 1 mal -''x'' und ''x'' mal 2, |
{{Abgesetzte Formel||<math>(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot (-x) + x\cdot 2 + \cdots</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot (-x) + x\cdot 2 + \cdots</math>}} | ||
| - | und also ist der Koeffizient von ''x'' <math>-1+2=1\,</math>. | + | und also ist der Koeffizient von ''x'' : <math>-1+2=1\,</math>. |
| - | Den Koeffizienten von den <math>x^2</math>-Term finden wir indem wir alle Terme | + | Den Koeffizienten von den <math>x^2</math>-Term finden wir, indem wir alle Terme, die multipliziert einen <math>x^2</math>-Term ergeben multiplizieren, also |
{{Abgesetzte Formel||<math>(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot x^{2} + x\cdot(-x) + x^{2}\cdot 2 + \cdots</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot x^{2} + x\cdot(-x) + x^{2}\cdot 2 + \cdots</math>}} | ||
Der Koeffizient von <math>x^2</math> ist also <math>1-1+2=2\,</math>. | Der Koeffizient von <math>x^2</math> ist also <math>1-1+2=2\,</math>. | ||
Aktuelle Version
Wenn wir den Ausdruck
| \displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) |
erweitern, wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert, also
| \displaystyle \begin{align}
&(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4})\\[3pt] &\qquad\quad{}=1\cdot 2+1\cdot (-x)+1\cdot x^{2}+1\cdot x^{4}+x\cdot 2+x\cdot (-x) \\ &\qquad\qquad\quad{}+x\cdot x^{2}+x\cdot x^{4}+x^{2}\cdot 2+x^{2}\cdot (-x)+x^{2}\cdot x^{2}+x^{2}\cdot x^{4} \\ &\qquad\qquad\quad{}+x^{3}\cdot 2+x^{3}\cdot (-x)+x^{3}\cdot x^{2}+x^{3}\cdot x^{4}\,\textrm{.} \end{align} |
Falls wir wie in diesem Fall nur den x-Koeffizienten wissen wollen, genügt es wenn wir die Terme, die multipliziert einen x-Term ergeben, multiplizieren. In diesem Fall entspricht das 1 mal -x und x mal 2,
| \displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot (-x) + x\cdot 2 + \cdots |
und also ist der Koeffizient von x : \displaystyle -1+2=1\,.
Den Koeffizienten von den \displaystyle x^2-Term finden wir, indem wir alle Terme, die multipliziert einen \displaystyle x^2-Term ergeben multiplizieren, also
| \displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot x^{2} + x\cdot(-x) + x^{2}\cdot 2 + \cdots |
Der Koeffizient von \displaystyle x^2 ist also \displaystyle 1-1+2=2\,.
