Lösung 2.1:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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When the expression
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Wenn wir den Ausdruck
{{Abgesetzte Formel||<math>(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4})</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4})</math>}}
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is expanded out, every term in the first bracket is multiplied by every term in the second bracket, i.e.
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erweitern, wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert, also
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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If we only want to know the coefficient in front of ''x'', we do not need to carry out the complete expansion of the expression; it is sufficient to find those combinations of a term from the first bracket and a term from the second bracket which, when multiplied, give an ''x''-term. In this case, we have two such pairs: 1
+
Falls wir wie in diesem Fall nur den ''x''-Koeffizienten wissen wollen, genügt es wenn wir die Terme, die multipliziert einen ''x''-Term ergeben, multiplizieren. In diesem Fall entspricht das 1 mal -''x'' und ''x'' mal 2,
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multiplied by -''x'' and ''x'' multiplied by 2,
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{{Abgesetzte Formel||<math>(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot (-x) + x\cdot 2 + \cdots</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot (-x) + x\cdot 2 + \cdots</math>}}
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so that the coefficient in front of ''x'' is <math>-1+2=1\,</math>.
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und also ist der Koeffizient von ''x'' : <math>-1+2=1\,</math>.
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We obtain the coefficient in front of ''x''² by finding those combinations of a term from each bracket which give an ''x''²-term; these are
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Den Koeffizienten von den <math>x^2</math>-Term finden wir, indem wir alle Terme, die multipliziert einen <math>x^2</math>-Term ergeben multiplizieren, also
{{Abgesetzte Formel||<math>(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot x^{2} + x\cdot(-x) + x^{2}\cdot 2 + \cdots</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot x^{2} + x\cdot(-x) + x^{2}\cdot 2 + \cdots</math>}}
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The coefficient in front of ''x''² is <math>1-1+2=2\,</math>.
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Der Koeffizient von <math>x^2</math> ist also <math>1-1+2=2\,</math>.

Aktuelle Version

Wenn wir den Ausdruck

\displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4})

erweitern, wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert, also

\displaystyle \begin{align}

&(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4})\\[3pt] &\qquad\quad{}=1\cdot 2+1\cdot (-x)+1\cdot x^{2}+1\cdot x^{4}+x\cdot 2+x\cdot (-x) \\ &\qquad\qquad\quad{}+x\cdot x^{2}+x\cdot x^{4}+x^{2}\cdot 2+x^{2}\cdot (-x)+x^{2}\cdot x^{2}+x^{2}\cdot x^{4} \\ &\qquad\qquad\quad{}+x^{3}\cdot 2+x^{3}\cdot (-x)+x^{3}\cdot x^{2}+x^{3}\cdot x^{4}\,\textrm{.} \end{align}

Falls wir wie in diesem Fall nur den x-Koeffizienten wissen wollen, genügt es wenn wir die Terme, die multipliziert einen x-Term ergeben, multiplizieren. In diesem Fall entspricht das 1 mal -x und x mal 2,

\displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot (-x) + x\cdot 2 + \cdots

und also ist der Koeffizient von x : \displaystyle -1+2=1\,.

Den Koeffizienten von den \displaystyle x^2-Term finden wir, indem wir alle Terme, die multipliziert einen \displaystyle x^2-Term ergeben multiplizieren, also

\displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot x^{2} + x\cdot(-x) + x^{2}\cdot 2 + \cdots

Der Koeffizient von \displaystyle x^2 ist also \displaystyle 1-1+2=2\,.

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