Lösung 1.3:6f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
We can factorize the exponents
+
Wie zerlegen die Exponente 40 und 56 in ihre Primfaktoren
-
<math>40</math>
+
-
and
+
-
<math>56</math>
+
-
as
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
40 &= 4\cdot 10 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5 = 2^{3}\cdot 5 \\[3pt]
 +
56 &= 7\cdot 8 = 7\cdot 2\cdot 4 = 7\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 2^{3}\cdot 7
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Hier sehen wir dass die Exponenten den gemeinsamen Faktor <math>2^{3} = 8</math> haben. Mit den Rechenregeln für Potenzen schreiben wir den Ausdruck als:
-
& 40=4\centerdot 10=2\centerdot 2\centerdot 2\centerdot 5=2^{3}\centerdot 5 \\
+
-
& \\
+
-
& 56=7\centerdot 8=7\centerdot 2\centerdot 4=7\centerdot 2\centerdot 2\centerdot 2=2^{3}\centerdot 7 \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
3^{40} &= 3^{5\cdot 8} = \bigl(3^{5}\bigr)^{8} = (3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3)^{8} = 243^{8}\,,\\[3pt]
 +
2^{56} &= 2^{7\cdot 8} = \bigl(2^{7}\bigr)^{8} = (2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)^{8} = 128^{8}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
and we then see that they have
+
Und sehen, dass <math>3^{40} = 243^{8} > 128^{8}=2^{56}</math>.
-
<math>2^{3}=8</math>
+
-
as a common factor. We can take this factor out as an "outer" exponent:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& 3^{40}=3^{5\centerdot 8}=\left( 3^{5} \right)^{8}=\left( 3\centerdot 3\centerdot 3\centerdot 3\centerdot 3 \right)^{8}=243^{8} \\
+
-
& \\
+
-
& 2^{56}=2^{7\centerdot 8}=\left( 2^{7} \right)^{8}=\left( 2\centerdot 2\centerdot 2\centerdot 2\centerdot 2\centerdot 2\centerdot 2 \right)^{8}=128^{8} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
This shows that
+
-
<math>3^{40}=243^{8}</math>
+
-
is bigger than
+
-
<math>2^{56}=128^{8}</math>
+

Aktuelle Version

Wie zerlegen die Exponente 40 und 56 in ihre Primfaktoren

\displaystyle \begin{align}

40 &= 4\cdot 10 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5 = 2^{3}\cdot 5 \\[3pt] 56 &= 7\cdot 8 = 7\cdot 2\cdot 4 = 7\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 2^{3}\cdot 7 \end{align}

Hier sehen wir dass die Exponenten den gemeinsamen Faktor \displaystyle 2^{3} = 8 haben. Mit den Rechenregeln für Potenzen schreiben wir den Ausdruck als:

\displaystyle \begin{align}

3^{40} &= 3^{5\cdot 8} = \bigl(3^{5}\bigr)^{8} = (3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3)^{8} = 243^{8}\,,\\[3pt] 2^{56} &= 2^{7\cdot 8} = \bigl(2^{7}\bigr)^{8} = (2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)^{8} = 128^{8}\,\textrm{.} \end{align}

Und sehen, dass \displaystyle 3^{40} = 243^{8} > 128^{8}=2^{56}.

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