Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Version vom 08:46, 22. Okt. 2008 (bearbeiten) Tekbot (Diskussion | Beiträge) K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Aktuelle Version (15:24, 23. Jul. 2009) (bearbeiten) (rückgängig) Bayerer (Diskussion | Beiträge)
(Der Versionsvergleich bezieht 3 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1:		Zeile 1:
-	The left-hand side is "2 raised to something", and therefore a positive number regardless of whatever value the exponent has. We can therefore take the log of both sides,	+	Die linke Seite der Gleichung ist "2 hoch irgendetwas", und also immer positiv. Daher können wir beide Seiten logarithmieren:
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 2^{x^2-2} = \ln 1\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 2^{x^2-2} = \ln 1\,.</math>}}
-	and use the log law <math>\ln a^b = b\cdot \ln a</math> to get the exponent <math>x^2-2</math> as a factor on the left-hand side,	+	Wir verwenden das Logarithmusgesetz <math>\ln a^b = b\cdot \ln a</math> und erhalten
	{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(x^2-2\bigr)\ln 2 = \ln 1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(x^2-2\bigr)\ln 2 = \ln 1\,\textrm{.}</math>}}
-	Because <math>e^{0}=1</math>, so <math>\ln 1 = 0</math>, giving	+	Nachdem <math>e^{0}=1</math> ist <math>\ln 1 = 0</math>, erhalten wir
	{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2-2)\ln 2=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2-2)\ln 2=0\,\textrm{.}</math>}}
-	This means that ''x'' must satisfy the second-degree equation	+	Also muss ''x'' die quadratische Gleichung
	{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-2 = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-2 = 0\,\textrm{.}</math>}}
-	Taking the root gives <math>x=-\sqrt{2}</math> or <math>x=\sqrt{2}\,</math>.	+	erfüllen. Diese Gleichung hat die Wurzeln <math>x=-\sqrt{2}</math> und <math>x=\sqrt{2}\,</math>.
-	Note: The exercise is taken from a Finnish upper-secondary final examination from March 2007.	+	Diese Übung stammt aus einer Finnischen Maturaprüfung im März 2007.

---

Aktuelle Version

Die linke Seite der Gleichung ist "2 hoch irgendetwas", und also immer positiv. Daher können wir beide Seiten logarithmieren:

\displaystyle \ln 2^{x^2-2} = \ln 1\,.

Wir verwenden das Logarithmusgesetz \displaystyle \ln a^b = b\cdot \ln a und erhalten

\displaystyle \bigl(x^2-2\bigr)\ln 2 = \ln 1\,\textrm{.}

Nachdem \displaystyle e^{0}=1 ist \displaystyle \ln 1 = 0, erhalten wir

\displaystyle (x^2-2)\ln 2=0\,\textrm{.}

Also muss x die quadratische Gleichung

\displaystyle x^2-2 = 0\,\textrm{.}

erfüllen. Diese Gleichung hat die Wurzeln \displaystyle x=-\sqrt{2} und \displaystyle x=\sqrt{2}\,.

Diese Übung stammt aus einer Finnischen Maturaprüfung im März 2007.