Lösung 3.2:5
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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- | + | Nachdem wir beide Seiten quadrieren, erhalten wir die Gleichung | |
- | {{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>3x-2 = (2-x)^2\,.</math>|(*)}} |
- | + | Wir erweitern die rechte Seite und erhalten | |
- | {{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+6=0\,\textrm{.}</math>}} |
- | + | Durch quadratische Ergänzung erhalten wir | |
- | {{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} |
x^{2}-7x+6 | x^{2}-7x+6 | ||
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2+6\\[5pt] | &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2+6\\[5pt] | ||
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\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
- | + | Also kann die Gleichung wie | |
- | {{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 = \frac{25}{4}</math>}} |
- | + | geschrieben werden und hat deshalb die Wurzeln | |
:*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6\,,</math> | :*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6\,,</math> | ||
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:*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} = 1\,\textrm{.}</math> | :*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} = 1\,\textrm{.}</math> | ||
- | + | Ersetzen wir <math>x=1</math> und <math>x=6</math> in der quadratischen Gleichung (*), sehen wir dass die Wurzeln richtig sind. | |
- | :*''x'' = 1: <math>\ \text{ | + | :*''x'' = 1: <math>\ \text{Linke Seite} = 3\cdot 1-2 = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (2-1)^2 = 1</math> |
- | :*''x'' = 6: <math>\ \text{ | + | :*''x'' = 6: <math>\ \text{Linke Seite} = 3\cdot 6-2 = 16\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (2-6)^2 = 16</math> |
- | + | Schließlich kontrollieren wir die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um Scheinlösungen zu entdecken. | |
- | :*''x'' = 1: <math>\ \text{ | + | :*''x'' = 1: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 1-2} = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 2-1 = 1</math> |
- | :*''x'' = 6: <math>\ \text{ | + | :*''x'' = 6: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 6-2} = 4\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 2-6 = -4</math> |
- | + | Also hat die Gleichung die Lösung <math>x=1\,</math>. |
Aktuelle Version
Nachdem wir beide Seiten quadrieren, erhalten wir die Gleichung
\displaystyle 3x-2 = (2-x)^2\,. | (*) |
Wir erweitern die rechte Seite und erhalten
\displaystyle x^{2}-7x+6=0\,\textrm{.} |
Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
\displaystyle \begin{align}
x^{2}-7x+6 &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2+6\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{24}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{25}{4} \end{align} |
Also kann die Gleichung wie
\displaystyle \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 = \frac{25}{4} |
geschrieben werden und hat deshalb die Wurzeln
- \displaystyle x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6\,,
- \displaystyle x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} = 1\,\textrm{.}
Ersetzen wir \displaystyle x=1 und \displaystyle x=6 in der quadratischen Gleichung (*), sehen wir dass die Wurzeln richtig sind.
- x = 1: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 1-2 = 1\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (2-1)^2 = 1
- x = 6: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 6-2 = 16\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (2-6)^2 = 16
Schließlich kontrollieren wir die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um Scheinlösungen zu entdecken.
- x = 1: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 1-2} = 1\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 2-1 = 1
- x = 6: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 6-2} = 4\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 2-6 = -4
Also hat die Gleichung die Lösung \displaystyle x=1\,.