Lösung 3.2:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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After squaring both sides, we obtain the equation
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Nachdem wir beide Seiten quadrieren, erhalten wir die Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>3x-2 = (2-x)^2\,.</math>|(*)}}
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<math>3x-2=\left( 2-x \right)^{2}\quad \quad (*)</math>
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Wir erweitern die rechte Seite und erhalten
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+6=0\,\textrm{.}</math>}}
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and if we expand the right-hand side and then collect gather the terms, we get
+
Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
x^{2}-7x+6
 +
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2+6\\[5pt]
 +
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{24}{4}\\[5pt]
 +
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{25}{4}
 +
\end{align}</math>}}
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<math>x^{2}-7x+6=0</math>
+
Also kann die Gleichung wie
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 = \frac{25}{4}</math>}}
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Completing the square of the left-hand side, we obtain
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geschrieben werden und hat deshalb die Wurzeln
 +
:*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6\,,</math>
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<math>\begin{align}
+
:*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} = 1\,\textrm{.}</math>
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& x^{2}-7x+6=\left( x-\frac{7}{2} \right)^{2}-\left( \frac{7}{2} \right)^{2}+6 \\
+
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& =\left( x-\frac{7}{2} \right)^{2}-\frac{49}{4}+\frac{24}{4} \\
+
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& =\left( x-\frac{7}{2} \right)^{2}-\frac{25}{4} \\
+
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\end{align}</math>
+
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which means that the equation can be written as
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Ersetzen wir <math>x=1</math> und <math>x=6</math> in der quadratischen Gleichung (*), sehen wir dass die Wurzeln richtig sind.
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{Linke Seite} = 3\cdot 1-2 = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (2-1)^2 = 1</math>
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<math>\left( x-\frac{7}{2} \right)^{2}=\frac{25}{4}</math>
+
-
 
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+
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and the solutions are therefore
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+
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<math>\begin{align}
+
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& x=\frac{7}{2}+\sqrt{\frac{25}{4}=}\frac{7}{2}+\frac{5}{2}=\frac{12}{2}=6 \\
+
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& x=\frac{7}{2}-\sqrt{\frac{25}{4}=}\frac{7}{2}-\frac{5}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
+
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\end{align}</math>
+
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EQ6
+
-
 
+
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Substituting
+
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<math>x=\text{1 }</math>
+
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and
+
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<math>x=\text{6 }</math>
+
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into the quadratic equation (*) shows that we have solved the equation correctly.
+
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+
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+
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<math>x=\text{1 }</math>: LHS
+
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<math>=3\centerdot 1-2=1</math>
+
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and RHS
+
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<math>=\left( 2-1 \right)^{2}=1</math>
+
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;6: <math>\ \text{Linke Seite} = 3\cdot 6-2 = 16\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (2-6)^2 = 16</math>
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<math>x=\text{6 }</math>: LHS
+
Schließlich kontrollieren wir die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um Scheinlösungen zu entdecken.
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<math>=3\centerdot 6-2=16</math>
+
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and RHS
+
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<math>=\left( 2-6 \right)^{2}=16</math>
+
-
 
+
:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 1-2} = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 2-1 = 1</math>
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Finally, we need to sort away possible false roots to the root equation by verifying the solutions.
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-
 
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<math>x=\text{1 }</math>: LHS
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<math>=\sqrt{3\centerdot 1-2}=1</math>
+
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and RHS
+
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<math>=2-1=1</math>
+
 +
:*''x''&nbsp;=&nbsp;6: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 6-2} = 4\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 2-6 = -4</math>
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<math>x=\text{6 }</math>: LHS
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Also hat die Gleichung die Lösung <math>x=1\,</math>.
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<math>=\sqrt{3\centerdot 6-2}=4</math>
+
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and RHS =
+
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<math>=2-6=-4</math>
+
-
 
+
-
This shows that the root equation has the solution
+
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<math>x=\text{1}</math>.
+

Aktuelle Version

Nachdem wir beide Seiten quadrieren, erhalten wir die Gleichung

\displaystyle 3x-2 = (2-x)^2\,. (*)

Wir erweitern die rechte Seite und erhalten

\displaystyle x^{2}-7x+6=0\,\textrm{.}

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

x^{2}-7x+6 &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2+6\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{24}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{25}{4} \end{align}

Also kann die Gleichung wie

\displaystyle \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 = \frac{25}{4}

geschrieben werden und hat deshalb die Wurzeln

  • \displaystyle x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6\,,
  • \displaystyle x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} = 1\,\textrm{.}

Ersetzen wir \displaystyle x=1 und \displaystyle x=6 in der quadratischen Gleichung (*), sehen wir dass die Wurzeln richtig sind.

  • x = 1: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 1-2 = 1\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (2-1)^2 = 1
  • x = 6: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 6-2 = 16\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (2-6)^2 = 16

Schließlich kontrollieren wir die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um Scheinlösungen zu entdecken.

  • x = 1: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 1-2} = 1\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 2-1 = 1
  • x = 6: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 6-2} = 4\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 2-6 = -4

Also hat die Gleichung die Lösung \displaystyle x=1\,.

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