Lösung 2.2:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
First, we move all the terms over to the left-hand side
+
Zuerst sammeln wir alle Terme auf der linken Seite der Gleichung
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(x^{2}+4x+1)^{2}+3x^{4}-2x^{2}-(2x^{2}+2x+3)^{2}=0\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\left( x^{2}+4x+1 \right)^{2}+3x^{4}-2x^{2}-\left( 2x^{2}+2x+3 \right)^{2}=0</math>
+
Jetzt erweitern wir die Quadrate, indem wir jeden Term jeweils mit den anderen Termen multiplizieren.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
(x^{2}+4x+1)^{2} &= (x^{2}+4x+1)(x^{2}+4x+1)\\[5pt]
 +
&= x^{2}\cdot x^{2}+x^{2}\cdot 4x+x^{2}\cdot 1+4x\cdot x^{2}+4x\cdot 4x+4x\cdot 1\\[5pt]
 +
&\qquad\quad{}+1\cdot x^{2}+1\cdot 4x+1\cdot 1\\[5pt]
 +
&= x^{4}+4x^{3}+x^{2}+4x^{3}+16x^{2}+4x+x^{2}+4x+1\\[5pt]
 +
&= x^{4}+8x^{3}+18x^{2}+8x+1\,,\\[10pt]
 +
(2x^{2}+2x+3)^{2} &= (2x^{2}+2x+3)(2x^{2}+2x+3)\\[5pt]
 +
&= 2x^{2}\cdot 2x^{2}+2x^{2}\cdot 2x+2x^{2}\cdot 3+2x\cdot 2x^{2}+2x\cdot 2x\\[5pt]
 +
&\qquad\quad{}+2x\cdot 3+3\cdot 2x^{2}+3\cdot 2x+3\cdot 3\\[5pt]
 +
&= 4x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x^{3}+4x^{2}+6x+6x^{2}+6x+9 \\[5pt]
 +
&= 4x^{4}+8x^{3}+16x^{2}+12x+9\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
As the equation stands now, it seems that the best approach for solving the equation is to expand the
+
Jetzt addieren wir alle Terme mit denselben Exponenten
-
squares, simplify and see what it leads to.
+
-
When the squares are expanded, each term inside a square is multiplied by itself and all other terms:
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
&(x^{2}+4x+1)^{2}+3x^{4}-2x^{2}-(2x^{2}+2x+3)^{2}\\[5pt]
 +
&\qquad{}= (x^{4}+8x^{3}+18x^{2}+8x+1)+3x^{4}-2x^{2}\\[5pt]
 +
&\qquad\qquad{}-(4x^{4}+8x^{3}+16x^{2}+12x+9)\\[5pt]
 +
&\qquad{}= (x^{4}+3x^{4}-4x^{4})+(8x^{3}-8x^{3})+(18x^{2}-2x^{2}-16x^{2})\\[5pt]
 +
&\qquad\qquad{}+(8x-12x)+(1-9)\\[5pt]
 +
&\qquad{}= -4x-8\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
Vereinfacht erhalten wir die Gleichung
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-4x-8=0\quad \Leftrightarrow \quad x=-2\,\textrm{.}</math>}}
-
& \left( x^{2}+4x+1 \right)^{2}=\left( x^{2}+4x+1 \right)\left( x^{2}+4x+1 \right) \\
+
-
& =x^{2}\centerdot x^{2}+x^{2}\centerdot 4x+x^{2}\centerdot 1+4x\centerdot x^{2}+4x\centerdot 4x+4x\centerdot 1+1\centerdot x^{2}+1\centerdot 4x+1\centerdot 1 \\
+
-
& =x^{4}+4x^{3}+x^{2}+4x^{3}+16x^{2}+4x+x^{2}+4x+1 \\
+
-
& =x^{4}+8x^{3}+18x^{2}+8x+1 \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
Zuletzt kontrolieren wir, dass <math>x=-2</math> die Gleichung löst
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>\begin{align}
+
\text{Linke Seite} &= \bigl((-2)^{2}+4\cdot(-2)+1\bigr)^{2}+3\cdot (-2)^{4}-2\cdot (-2)^{2}\\[5pt]
-
& \left( 2x^{2}+2x+3 \right)^{2}=\left( 2x^{2}+2x+3 \right)\left( 2x^{2}+2x+3 \right) \\
+
&= (4-8+1)^{2} + 3\cdot 16 - 2\cdot 4 = (-3)^{2} + 48 - 8 = 9 + 48 - 8 = 49\,,\\[10pt]
-
& =2x^{2}\centerdot 2x^{2}+2x^{2}\centerdot 2x+2x^{2}\centerdot 3+2x\centerdot 2x^{2}+2x\centerdot 2x+2x\centerdot 3+3\centerdot 2x^{2}+3\centerdot 2x+3\centerdot 3 \\
+
\text{Rechte Seite} &= \bigl(2\cdot(-2)^{2}+2\cdot (-2)+3\bigr)^{2} = (2\cdot 4-4+3)^{2} = 7^{2} = 49\,\textrm{.}
-
& =4x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x^{3}+4x^{2}+6x+6x^{2}+6x+9 \\
+
\end{align}</math>}}
-
& =4x^{4}+8x^{3}+16x^{2}+12x+9 \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
After we collect together all terms of the same order, the left hand side becomes
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \left( x^{2}+4x+1 \right)^{2}+3x^{4}-2x^{2}-\left( 2x^{2}+2x+3 \right)^{2} \\
+
-
& =\left( x^{4}+8x^{3}+18x^{2}+8x+1 \right)+3x^{4}-2x^{2}-\left( 4x^{4}+8x^{3}+16x^{2}+12x+9 \right) \\
+
-
& =\left( x^{4}+3x^{4}-4x^{4} \right)+\left( 8x^{3}-8x^{3} \right)+\left( 18x^{2}-2x^{2}-16x^{2} \right)+\left( 8x-12x \right)+\left( 1-9 \right) \\
+
-
& =-4x-8 \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
<math></math>
+
-
 
+
-
 
+
-
After all simplifications, the equation becomes
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>-4x-8=0\quad \Leftrightarrow \quad x=-2</math>
+
-
 
+
-
Finally, we check that
+
-
<math>x=-2</math>
+
-
is the correct answer by substituting
+
-
<math>x=-2</math>
+
-
into the equation
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \text{LHS}\quad =\quad \left( \left( -2 \right)^{2}+4\left( -2 \right)+1 \right)^{2}+3\centerdot \left( -2 \right)^{4}-2\centerdot \left( -2 \right)^{2} \\
+
-
& =\left( 4-8+1 \right)^{2}+3\centerdot 16-2\centerdot 4=\left( -3 \right)^{2}+48-8=9+48-8=49 \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\text{RHS}\quad =\quad \left( 2\left( -2 \right)^{2}+2\centerdot \left( -2 \right)+3 \right)^{2}=\left( 2\centerdot 4-4+3 \right)^{2}=7^{2}=49</math>
+

Aktuelle Version

Zuerst sammeln wir alle Terme auf der linken Seite der Gleichung

\displaystyle (x^{2}+4x+1)^{2}+3x^{4}-2x^{2}-(2x^{2}+2x+3)^{2}=0\,\textrm{.}

Jetzt erweitern wir die Quadrate, indem wir jeden Term jeweils mit den anderen Termen multiplizieren.

\displaystyle \begin{align}

(x^{2}+4x+1)^{2} &= (x^{2}+4x+1)(x^{2}+4x+1)\\[5pt] &= x^{2}\cdot x^{2}+x^{2}\cdot 4x+x^{2}\cdot 1+4x\cdot x^{2}+4x\cdot 4x+4x\cdot 1\\[5pt] &\qquad\quad{}+1\cdot x^{2}+1\cdot 4x+1\cdot 1\\[5pt] &= x^{4}+4x^{3}+x^{2}+4x^{3}+16x^{2}+4x+x^{2}+4x+1\\[5pt] &= x^{4}+8x^{3}+18x^{2}+8x+1\,,\\[10pt] (2x^{2}+2x+3)^{2} &= (2x^{2}+2x+3)(2x^{2}+2x+3)\\[5pt] &= 2x^{2}\cdot 2x^{2}+2x^{2}\cdot 2x+2x^{2}\cdot 3+2x\cdot 2x^{2}+2x\cdot 2x\\[5pt] &\qquad\quad{}+2x\cdot 3+3\cdot 2x^{2}+3\cdot 2x+3\cdot 3\\[5pt] &= 4x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x^{3}+4x^{2}+6x+6x^{2}+6x+9 \\[5pt] &= 4x^{4}+8x^{3}+16x^{2}+12x+9\,\textrm{.} \end{align}

Jetzt addieren wir alle Terme mit denselben Exponenten

\displaystyle \begin{align}

&(x^{2}+4x+1)^{2}+3x^{4}-2x^{2}-(2x^{2}+2x+3)^{2}\\[5pt] &\qquad{}= (x^{4}+8x^{3}+18x^{2}+8x+1)+3x^{4}-2x^{2}\\[5pt] &\qquad\qquad{}-(4x^{4}+8x^{3}+16x^{2}+12x+9)\\[5pt] &\qquad{}= (x^{4}+3x^{4}-4x^{4})+(8x^{3}-8x^{3})+(18x^{2}-2x^{2}-16x^{2})\\[5pt] &\qquad\qquad{}+(8x-12x)+(1-9)\\[5pt] &\qquad{}= -4x-8\,\textrm{.} \end{align}

Vereinfacht erhalten wir die Gleichung

\displaystyle -4x-8=0\quad \Leftrightarrow \quad x=-2\,\textrm{.}

Zuletzt kontrolieren wir, dass \displaystyle x=-2 die Gleichung löst

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= \bigl((-2)^{2}+4\cdot(-2)+1\bigr)^{2}+3\cdot (-2)^{4}-2\cdot (-2)^{2}\\[5pt] &= (4-8+1)^{2} + 3\cdot 16 - 2\cdot 4 = (-3)^{2} + 48 - 8 = 9 + 48 - 8 = 49\,,\\[10pt] \text{Rechte Seite} &= \bigl(2\cdot(-2)^{2}+2\cdot (-2)+3\bigr)^{2} = (2\cdot 4-4+3)^{2} = 7^{2} = 49\,\textrm{.} \end{align}

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