Lösung 4.4:8c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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When we have a trigonometric equation which contains a mixture of different trigonometric functions, a useful strategy can be to rewrite the equation so that it is expressed in terms of just one of the functions. Sometimes, it is not easy to find a way to rewrite it, but in the present case a plausible way is to replace the “1” in the numerator of the left-hand side with <math>\sin^2\!x + \cos^2\!x</math>
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Wir versuchen, die Gleichung durch trigonometrische Identitäten umzuschreiben, sodass sie nur eine trigonometrische Funktion enthält. Durch den trigonometrischen Pythagoras erhalten wir
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using the Pythagorean identity. This means that the equation's left-hand side can be written as
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{{Displayed math||<math>\frac{1}{\cos ^{2}x} = \frac{\cos^2\!x + \sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1 + \frac{\sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1+\tan^2\!x</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\cos ^{2}x} = \frac{\cos^2\!x + \sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1 + \frac{\sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1+\tan^2\!x</math>}}
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and the expression is then completely expressed in terms of tan x,
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Wir können die Gleichung in nur <math>\tan x</math>-Terme schreiben:
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{{Displayed math||<math>1 + \tan^2\!x = 1 - \tan x\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>1 + \tan^2\!x = 1 - \tan x\,\textrm{.}</math>}}
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If we substitute <math>t=\tan x</math>, we see that we have a quadratic equation in ''t'', which, after simplifying, becomes <math>t^2+t=0</math> and has roots <math>t=0</math> and <math>t=-1</math>. There are therefore two possible values for
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Benennen wir <math>t=\tan x</math>, erhalten wir eine quadratische Gleichung für ''t'', die vereinfacht <math>t^2+t=0</math> ist. Diese Gleichung hat die Lösungen <math>t=0</math> und <math>t=-1</math>. Daher muss ''x'' entweder die Gleichung <math>\tan x=0</math> oder die Gleichung <math>\tan x=-1\,</math> erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen <math>x=n\pi</math> und die zweite die Lösungen <math>x=3\pi/4+n\pi\,</math>.
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<math>\tan x</math>, <math>\tan x=0</math> or <math>\tan x=-1\,</math>. The first equality is satisfied when <math>x=n\pi</math> for all integers ''n'', and the second when <math>x=3\pi/4+n\pi\,</math>.
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The complete solution of the equation is
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Also erhalten wir zusammen die Lösungen
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{{Displayed math||<math>\left\{\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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x &= n\pi\,,\\[5pt]
+
x &= n\pi\,\text{ und}\\[5pt]
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x &= \frac{3\pi}{4}+n\pi\,,
+
x &= \frac{3\pi}{4}+n\pi\,.
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
 

Aktuelle Version

Wir versuchen, die Gleichung durch trigonometrische Identitäten umzuschreiben, sodass sie nur eine trigonometrische Funktion enthält. Durch den trigonometrischen Pythagoras erhalten wir

\displaystyle \frac{1}{\cos ^{2}x} = \frac{\cos^2\!x + \sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1 + \frac{\sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1+\tan^2\!x

Wir können die Gleichung in nur \displaystyle \tan x-Terme schreiben:

\displaystyle 1 + \tan^2\!x = 1 - \tan x\,\textrm{.}

Benennen wir \displaystyle t=\tan x, erhalten wir eine quadratische Gleichung für t, die vereinfacht \displaystyle t^2+t=0 ist. Diese Gleichung hat die Lösungen \displaystyle t=0 und \displaystyle t=-1. Daher muss x entweder die Gleichung \displaystyle \tan x=0 oder die Gleichung \displaystyle \tan x=-1\, erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x=n\pi und die zweite die Lösungen \displaystyle x=3\pi/4+n\pi\,.

Also erhalten wir zusammen die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= n\pi\,\text{ und}\\[5pt] x &= \frac{3\pi}{4}+n\pi\,. \end{align}\right.

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