Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	Wir verwenden die Doppelwinkelfunktion <math>\sin 2x = 2\sin x\cos x</math>, und erhalten so	+	Wir verwenden die Doppelwinkelfunktion <math>\sin 2x = 2\sin x\cos x</math> und erhalten so
	{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0\,\textrm{.}</math>}}
-	Wir ziehen den gemeinsamen Faktor <math>\cos x</math> heraus,	+	Wir ziehen den gemeinsamen Faktor <math>\cos x</math> heraus:
	{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x\,(2\sin x-\sqrt{2}) = 0</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x\,(2\sin x-\sqrt{2}) = 0</math>}}
-	und erhalten zwei Fälle wobei die Gleichung erfüllt ist. Entweder ist <math>\cos x = 0</math> oder <math>2\sin x-\sqrt{2} = 0\,</math>.	+	Wir erhalten zwei Fälle, für welche diese Gleichung erfüllt ist: Entweder ist <math>\cos x = 0</math> oder <math>2\sin x-\sqrt{2} = 0\,</math>.
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	<math>2\sin x-\sqrt{2}=0</math>:		<math>2\sin x-\sqrt{2}=0</math>:
-	Ist dasselbe wie <math>\sin x = 1/\!\sqrt{2}</math>, mit der allgemeinen Lösung	+	Ist dasselbe wie <math>\sin x = 1/\!\sqrt{2}</math> und hat deshalb die allgemeine Lösung
	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}

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Aktuelle Version

Wir verwenden die Doppelwinkelfunktion \displaystyle \sin 2x = 2\sin x\cos x und erhalten so

\displaystyle 2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0\,\textrm{.}

Wir ziehen den gemeinsamen Faktor \displaystyle \cos x heraus:

\displaystyle \cos x\,(2\sin x-\sqrt{2}) = 0

Wir erhalten zwei Fälle, für welche diese Gleichung erfüllt ist: Entweder ist \displaystyle \cos x = 0 oder \displaystyle 2\sin x-\sqrt{2} = 0\,.

\displaystyle \cos x = 0:

Hat die allgemeine Lösung

\displaystyle x = \frac{\pi}{2}+n\pi\qquad

\displaystyle 2\sin x-\sqrt{2}=0:

Ist dasselbe wie \displaystyle \sin x = 1/\!\sqrt{2} und hat deshalb die allgemeine Lösung

\displaystyle \left\{\begin{align} x &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,, \end{align}\right.

Also hat die ganze Gleichung die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align} x &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{2}+n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,, \end{align}\right.