Lösung 4.4:7b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Wir verwenden den trigonometrischen Pythagoras, und schreiben <math>\sin^2\!x</math> wie <math>1-\cos^2\!x</math>, und erhalten die Gleichung
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Wir verwenden den trigonometrischen Pythagoras und schreiben <math>\sin^2\!x</math> als <math>1-\cos^2\!x</math>. Wir erhalten die Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>2(1-\cos^2\!x) - 3\cos x = 0\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>2(1-\cos^2\!x) - 3\cos x = 0\,</math>}}
oder auch
oder auch
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{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos^2\!x + 3\cos x - 2 = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos^2\!x + 3\cos x - 2 = 0\,\textrm{.}</math>}}
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With the equation expressed entirely in terms of <math>\cos x</math>, we can introduce a new unknown variable <math>t=\cos x</math> and solve the equation with respect to ''t''. Expressed in terms of ''t'', the equation is
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Wir betrachten diese Gleichung nun als eine in der Unbekannten <math>\cos x</math> und schreiben stattdessen
{{Abgesetzte Formel||<math>2t^2+3t-2 = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2t^2+3t-2 = 0</math>}}
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mit <math>\cos x=t\,.</math>
Dies ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen <math>t=\tfrac{1}{2}</math> und <math>t=-2\,</math>.
Dies ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen <math>t=\tfrac{1}{2}</math> und <math>t=-2\,</math>.
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Also muss ''x'' einer der Gleichungen <math>\cos x = \tfrac{1}{2}</math> oder <math>\cos x = -2</math> erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen
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Also muss ''x'' einer der Gleichungen <math>\cos x = \tfrac{1}{2}</math> oder <math>\cos x = -2</math> genügen. Die erste Gleichung hat die Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=\pm \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=\pm \frac{\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}}
während die zweite Gleichung <math>\cos x = -2</math> keine Lösungen hat.
während die zweite Gleichung <math>\cos x = -2</math> keine Lösungen hat.

Version vom 14:58, 19. Jun. 2009

Wir verwenden den trigonometrischen Pythagoras und schreiben \displaystyle \sin^2\!x als \displaystyle 1-\cos^2\!x. Wir erhalten die Gleichung

\displaystyle 2(1-\cos^2\!x) - 3\cos x = 0\,

oder auch

\displaystyle 2\cos^2\!x + 3\cos x - 2 = 0\,\textrm{.}

Wir betrachten diese Gleichung nun als eine in der Unbekannten \displaystyle \cos x und schreiben stattdessen

\displaystyle 2t^2+3t-2 = 0

mit \displaystyle \cos x=t\,.

Dies ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen \displaystyle t=\tfrac{1}{2} und \displaystyle t=-2\,.

Also muss x einer der Gleichungen \displaystyle \cos x = \tfrac{1}{2} oder \displaystyle \cos x = -2 genügen. Die erste Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle x=\pm \frac{\pi}{3}+2n\pi\,,

während die zweite Gleichung \displaystyle \cos x = -2 keine Lösungen hat.

Also hat die Gleichung die Lösungen

\displaystyle x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi\,,
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