Lösung 4.4:6c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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If we use the trigonometric relation
+
Durch die Identität <math>\sin (-x) = -\sin x</math> erhalten wir
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<math>\text{sin }\left( -x \right)=-\text{sin }x</math>, the equation can be rewritten as
+
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 2x = \sin (-x)\,\textrm{.}</math>}}
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<math>\sin 2x=\sin \left( -x \right)</math>
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In der Übung 4.4:5a sahen wir, dass eine Gleichung der Art
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin u = \sin v</math>}}
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In exercise 4.4:5a, we saw that an equality of the type
+
die Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>u = v+2n\pi\qquad\text{und}\qquad u = \pi-v+2n\pi\,,</math>}}
-
<math>\sin u=\sin v\quad </math>
+
hat. In unserem Fall erhalten wir daher die Lösungen
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2x = -x+2n\pi\qquad\text{und}\qquad 2x = \pi-(-x)+2n\pi\,,</math>}}
-
is satisfied if
+
also
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>3x = 2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \pi +2n\pi\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>u=v+2n\pi </math>
+
Lösen wir diese für ''x'', erhalten wir die Lösungen
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or
+
-
<math>u=\pi -v+2n\pi </math>
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-
where
+
x &= \frac{2n\pi}{3}\,,\\[5pt]
-
<math>n\text{ }</math>
+
x &= \pi + 2n\pi\,,
-
is an arbitrary integer. The consequence of this is that the solutions to the equation satisfy
+
\end{align}\right.</math>}}
-
 
+
-
 
+
-
<math>2x=-x+2n\pi </math>
+
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or
+
-
<math>2x=\pi -\left( -x \right)+2n\pi </math>
+
-
 
+
-
 
+
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i.e.
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>3x=2n\pi </math>
+
-
or
+
-
<math>x=\pi +2n\pi </math>
+
-
 
+
-
 
+
-
The solutions to the equation are thus
+
-
 
+
-
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=\frac{2n\pi }{3} \\
+
-
x=\pi +2n\pi \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
(
+
-
<math>n\text{ }</math>
+
-
an arbitrary integer)
+

Aktuelle Version

Durch die Identität \displaystyle \sin (-x) = -\sin x erhalten wir

\displaystyle \sin 2x = \sin (-x)\,\textrm{.}

In der Übung 4.4:5a sahen wir, dass eine Gleichung der Art

\displaystyle \sin u = \sin v

die Lösungen

\displaystyle u = v+2n\pi\qquad\text{und}\qquad u = \pi-v+2n\pi\,,

hat. In unserem Fall erhalten wir daher die Lösungen

\displaystyle 2x = -x+2n\pi\qquad\text{und}\qquad 2x = \pi-(-x)+2n\pi\,,

also

\displaystyle 3x = 2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \pi +2n\pi\,\textrm{.}

Lösen wir diese für x, erhalten wir die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \frac{2n\pi}{3}\,,\\[5pt] x &= \pi + 2n\pi\,, \end{align}\right.

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