Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Version vom 09:00, 22. Okt. 2008 (bearbeiten) Tekbot (Diskussion | Beiträge) K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Aktuelle Version (14:43, 19. Jun. 2009) (bearbeiten) (rückgängig) Markus.bez (Diskussion | Beiträge) K
(Der Versionsvergleich bezieht 2 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1:		Zeile 1:
-	After moving the terms over to the left-hand side, so that	+	Ziehen wir alle Terme zu einer Seite der Gleichung, erhalten wir
	{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{2}\sin x\cos x-\cos x=0</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{2}\sin x\cos x-\cos x=0</math>}}
-	we see that we can take out a common factor <math>\cos x</math>,	+	wo wir den Faktor <math>\cos x</math> herausziehen können,
	{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x (\sqrt{2}\sin x-1) = 0</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x (\sqrt{2}\sin x-1) = 0</math>}}
-	and that the equation is only satisfied if at least one of the factors <math>\cos x</math> or <math>\sqrt{2}\sin x - 1</math> is zero. Thus, there are two cases:	+	Die Gleichung ist nur erfüllt, wenn einer der Faktoren <math>\cos x</math> oder <math>\sqrt{2}\sin x - 1</math> null ist. Also gibt es zwei Fälle:
	<math>\cos x=0:</math>		<math>\cos x=0:</math>
-	This basic equation has solutions <math>x=\pi/2</math> and <math>x=3\pi/2</math> in the unit circle, and from this we see that the general solution is	+	Diese Gleichung hat die Lösungen <math>x=\pi/2</math> und <math>x=3\pi/2</math> auf dem Einheitskreis. Die allgemeine Lösung ist
-	{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi\,,</math>}}
-	where ''n'' is an arbitrary integer. Because the angles <math>\pi/2</math> and	+	Nachdem sich die Winkel <math>\pi/2</math> und
-	<math>3\pi/2</math> differ by <math>\pi</math>, the solutions can be summarized as	+	<math>3\pi/2</math> nur um <math>\pi</math> unterscheiden, ist die allgemeine Lösung auch
	{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+n\pi\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+n\pi\,,</math>}}
-	where ''n'' is an arbitrary integer.	+
	<math>\sqrt{2}\sin x - 1 = 0:</math>		<math>\sqrt{2}\sin x - 1 = 0:</math>
-	If we rearrange the equation, we obtain the basic equation as <math>\sin x = 1/\!\sqrt{2}</math>, which has the solutions <math>x=\pi/4</math> and <math>x=3\pi /4</math> in the unit circle and hence the general solution	+	Die Gleichung entspricht <math>\sin x = 1/\!\sqrt{2}</math> mit den Lösungen <math>x=\pi/4</math> und <math>x=3\pi /4</math> auf dem Einheitskreis und den allgemeinen Lösungen
-	{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{4}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{4}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi\,,</math>}}
-	where ''n'' is an arbitrary integer.
-		+	Also hat die Gleichung die Lösungen
-	All in all, the original equation has the solutions	+
	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 40:		Zeile 38:
	x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,,		x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,,
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
-
-	where ''n'' is an arbitrary integer.

---

Aktuelle Version

Ziehen wir alle Terme zu einer Seite der Gleichung, erhalten wir

\displaystyle \sqrt{2}\sin x\cos x-\cos x=0

wo wir den Faktor \displaystyle \cos x herausziehen können,

\displaystyle \cos x (\sqrt{2}\sin x-1) = 0

Die Gleichung ist nur erfüllt, wenn einer der Faktoren \displaystyle \cos x oder \displaystyle \sqrt{2}\sin x - 1 null ist. Also gibt es zwei Fälle:

\displaystyle \cos x=0:

Diese Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x=\pi/2 und \displaystyle x=3\pi/2 auf dem Einheitskreis. Die allgemeine Lösung ist

\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi\,,

Nachdem sich die Winkel \displaystyle \pi/2 und \displaystyle 3\pi/2 nur um \displaystyle \pi unterscheiden, ist die allgemeine Lösung auch

\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+n\pi\,,

\displaystyle \sqrt{2}\sin x - 1 = 0:

Die Gleichung entspricht \displaystyle \sin x = 1/\!\sqrt{2} mit den Lösungen \displaystyle x=\pi/4 und \displaystyle x=3\pi /4 auf dem Einheitskreis und den allgemeinen Lösungen

\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi\,,

Also hat die Gleichung die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align} x &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{2}+n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,, \end{align}\right.