Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Version vom 10:55, 3. Apr. 2008 (bearbeiten) Oskar (Diskussion | Beiträge) (Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:4_3_8b.gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}}) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Aktuelle Version (13:08, 19. Jun. 2009) (bearbeiten) (rückgängig) Markus.bez (Diskussion | Beiträge) K
(Der Versionsvergleich bezieht 7 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Nachdem <math>\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}</math> ist, kann die linke Seite als ein einziger Bruch mit <math>\cos v</math> als Nenner geschrieben werden,
-	<center> [[Bild:4_3_8b.gif]] </center>	+
-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\cos v} - \tan v = \frac{1}{\cos v} - \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{1-\sin v}{\cos v}\,\textrm{.}</math>}}
		+
		+	Erweitern wir den Bruch mit <math>1+\sin v</math>, erhalten wir mit der binomischen Formel und dem Satz des Pythagoras:
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	\frac{1-\sin v}{\cos v}
		+	&= \frac{1-\sin v}{\cos v}\cdot\frac{1+\sin v}{1+\sin v}\\[5pt]
		+	&= \frac{1-\sin^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)}\\[5pt]
		+	&= \frac{\cos^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)}\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}
		+
		+	Wir kürzen den Faktor <math>\cos v</math> und erhalten
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\cos^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)} = \frac{\cos v}{1+\sin v}\,\textrm{.}</math>}}

---

Aktuelle Version

Nachdem \displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v} ist, kann die linke Seite als ein einziger Bruch mit \displaystyle \cos v als Nenner geschrieben werden,

\displaystyle \frac{1}{\cos v} - \tan v = \frac{1}{\cos v} - \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{1-\sin v}{\cos v}\,\textrm{.}

Erweitern wir den Bruch mit \displaystyle 1+\sin v, erhalten wir mit der binomischen Formel und dem Satz des Pythagoras:

\displaystyle \begin{align} \frac{1-\sin v}{\cos v} &= \frac{1-\sin v}{\cos v}\cdot\frac{1+\sin v}{1+\sin v}\\[5pt] &= \frac{1-\sin^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)}\\[5pt] &= \frac{\cos^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)}\,\textrm{.} \end{align}

Wir kürzen den Faktor \displaystyle \cos v und erhalten

\displaystyle \frac{\cos^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)} = \frac{\cos v}{1+\sin v}\,\textrm{.}