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Lösung 4.3:7a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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We can write the expression <math>\sin (x+y)</math> in terms of <math>\sin x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin y</math> and <math>\cos y</math> if we use the addition formula for sine,
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Durch das Additionstheorem erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin (x+y) = \sin x\cdot \cos y + \cos x\cdot \sin y\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin (x+y) = \sin x\cdot \cos y + \cos x\cdot \sin y\,\textrm{.}</math>}}
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In turn, it is possible to express the factors <math>\cos x</math> and <math>\cos y</math> in terms of <math>\sin x</math> and <math>\sin y</math> by using the Pythagorean identity,
+
Weiterhin ist es möglich, die Terme <math>\cos x</math> und <math>\cos y</math> durch <math>\sin x</math> und <math>\sin y</math> zu schreiben, und zwar mit dem Satz des Pythagoras:
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Because ''x'' and ''y'' are angles in the first quadrant, <math>\cos x</math> and <math>\cos y</math> are positive, so we in fact have
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Nachdem ''x'' und ''y'' Winkel im ersten Quadrant sind, sind <math>\cos x</math> und <math>\cos y</math> positiv und wir erhalten dadurch
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{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x = \frac{\sqrt{5}}{3}\qquad\text{and}\qquad\cos y = \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x = \frac{\sqrt{5}}{3}\qquad\text{und}\qquad\cos y = \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\textrm{.}</math>}}
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Finally, we obtain
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Schließlich erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin (x+y) = \frac{2}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin (x+y) = \frac{2}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Durch das Additionstheorem erhalten wir

sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny.

Weiterhin ist es möglich, die Terme cosx und cosy durch sinx und siny zu schreiben, und zwar mit dem Satz des Pythagoras:

cosxcosy=1−sin2x=1−(23)2=35=1−sin2y=1−(13)2=322.

Nachdem x und y Winkel im ersten Quadrant sind, sind cosx und cosy positiv und wir erhalten dadurch

cosx=35undcosy=322. 

Schließlich erhalten wir

sin(x+y)=32322+3531=942+5. 
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