Lösung 4.3:3c

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With the help of the Pythagorean identity, we can express <math>\cos v</math> in terms of <math>\sin v</math>,
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Durch den trigonometrischen Pythagoras können wir <math>\cos v</math> durch <math>\sin v</math> ausdrücken,
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos^2 v + \sin^2 v = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \cos v = \pm\sqrt{1-\sin^2 v}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos^2 v + \sin^2 v = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \cos v = \pm\sqrt{1-\sin^2 v}\,\textrm{.}</math>}}
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In addition, we know that the angle <math>v</math> lies between <math>-\pi/2</math>
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Wir wissen auch, dass <math>v</math> zwischen <math>-\pi/2</math>
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and <math>\pi/2</math>, i.e. either in the first or fourth quadrant, where angles always have a positive ''x''-coordinate (cosine value); thus, we can conclude that
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und <math>\pi/2</math> liegt, also im ersten oder vierten Quadrant, wo die ''x''-Koordinate positiv ist. Also haben wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos v = \sqrt{1-\sin^2 v} = \sqrt{1-a^2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos v = \sqrt{1-\sin^2 v} = \sqrt{1-a^2}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Durch den trigonometrischen Pythagoras können wir \displaystyle \cos v durch \displaystyle \sin v ausdrücken,

\displaystyle \cos^2 v + \sin^2 v = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \cos v = \pm\sqrt{1-\sin^2 v}\,\textrm{.}

Wir wissen auch, dass \displaystyle v zwischen \displaystyle -\pi/2 und \displaystyle \pi/2 liegt, also im ersten oder vierten Quadrant, wo die x-Koordinate positiv ist. Also haben wir

\displaystyle \cos v = \sqrt{1-\sin^2 v} = \sqrt{1-a^2}\,\textrm{.}
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