Lösung 4.1:10
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
(Sprache und Formulierung) |
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| - | Zuerst schreiben wir alle Längen in dm (Dezimeter) | + | Zuerst schreiben wir alle Längen in dm (Dezimeter), damit wir in ganzen Zahlen arbeiten können. |
| - | Wir benennen die Abstände von den Bäumen zum Kleidungstück ''y'' und ''z'', wie im Bild unten. Wir erhalten so zwei Dreiecke mit den Hypotenusen ''y'' und ''z'' (Wir haben angenommen dass das Kleidungsstück schwer ist | + | Wir benennen die Abstände von den Bäumen zum Kleidungstück ''y'' und ''z'', wie im Bild unten. Wir erhalten so zwei Dreiecke mit den Hypotenusen ''y'' und ''z'' (Wir haben angenommen, dass das Kleidungsstück schwer ist und alle Abstände gerade sind). |
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| - | Nachdem die Wäscheleine 54 dm lang ist erhalten wir | + | Nachdem die Wäscheleine 54 dm lang ist, erhalten wir |
{{Abgesetzte Formel||<math>y+z=54\,\textrm{.}</math>|(1)}} | {{Abgesetzte Formel||<math>y+z=54\,\textrm{.}</math>|(1)}} | ||
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| - | Wir verwenden (2) und ersetzen <math>y^2</math> mit <math>x^2+12</math> in dieser Gleichung | + | Wir verwenden (2) und ersetzen <math>y^2</math> mit <math>x^2+12</math> in dieser Gleichung |
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| - | + | So eliminieren wir alle''x''²-Terme: | |
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Durch weitere Vereinfachung erhalten wir | Durch weitere Vereinfachung erhalten wir | ||
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| - | Wir haben jetzt die Gleichungen (2) und (3') in die Gleichungen (2) und (3'') gebracht, | + | Wir haben jetzt die Gleichungen (2) und (3') in die Gleichungen (2) und (3'') gebracht, wobei (3'') linear ist. |
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{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(16-\frac{x}{9}\Bigr)^2 = x^2 + 144\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(16-\frac{x}{9}\Bigr)^2 = x^2 + 144\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Dies ist eine Gleichung mit nur | + | Dies ist eine Gleichung mit nur einer Unbekannten ''x''. Diese lösen wir, indem wir zuerst die Quadrate auf der linken Seite erweitern: |
| - | + | {{Abgesetzte Formel||<math>16^{2}-2\cdot 16\cdot \frac{x}{9} + \Bigl(\frac{x}{9} \Bigr)^2 = x^2 + 144\,.</math>}} | |
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| - | und erhalten | + | und erhalten damit |
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{80}{81}x^2 + \frac{32}{9}x - 112 = 0\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{80}{81}x^2 + \frac{32}{9}x - 112 = 0\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>81/80</math> | + | Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>81/80</math>, damit wir die Gleichung auf Standardform bringen: |
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2} + \frac{18}{5}x - \frac{567}{5} = 0\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2} + \frac{18}{5}x - \frac{567}{5} = 0\,\textrm{.}</math>}} | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{and}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{and}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Die Antwort ist also <math>x=9\ \textrm{dm}</math> (Die | + | Die Antwort ist also <math>x=9\ \textrm{dm}</math> (Die negative Lösung müssen wir verwerfen). |
| - | Um zu prüfen ob wir richtig gerechnet haben, können wir zuerst ''y'' und ''z'' berechnen | + | Um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben, können wir zuerst ''y'' und ''z'' berechnen und testen, ob diese Werte zusammen mit ''x'' die Gleichungen (1) - (3) erfüllen. |
Die Gleichung (3") gibt | Die Gleichung (3") gibt | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>z=54-y=54-15=39\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>z=54-y=54-15=39\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Jetzt prüfen wir ob <math>x=9</math>, <math>y=15</math> und <math>z=39</math> die Gleichungen (1), (2) und (3) erfüllen | + | Jetzt prüfen wir, ob <math>x=9</math>, <math>y=15</math> und <math>z=39</math> die Gleichungen (1), (2) und (3) erfüllen: |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
Version vom 14:03, 16. Jun. 2009
Zuerst schreiben wir alle Längen in dm (Dezimeter), damit wir in ganzen Zahlen arbeiten können.
Wir benennen die Abstände von den Bäumen zum Kleidungstück y und z, wie im Bild unten. Wir erhalten so zwei Dreiecke mit den Hypotenusen y und z (Wir haben angenommen, dass das Kleidungsstück schwer ist und alle Abstände gerade sind).
Nachdem die Wäscheleine 54 dm lang ist, erhalten wir
| \displaystyle y+z=54\,\textrm{.} | (1) |
Mit dem Gesetz des Pythagoras erhalten wir
| \displaystyle y^2 = x^2 + 12^2\,, | (2) |
| \displaystyle z^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.} | (3) |
Wir lösen jetzt die Gleichungen (1)-(3), indem wir zuerst z eliminieren, und eine Gleichung mit nur x und y erhalten. Danach eliminieren wir y, und erhalten so eine Gleichung mit nur x.
Von (1) erhalten wir \displaystyle z = 54-y, und dies in (3) ergibt
| \displaystyle (54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.} | (3') |
Jetzt haben wir nurmehr die Gleichungen (2) und (3), und die Unbekannten x und y,
| \displaystyle \left\{ \begin{align}
& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt] & (54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.} \end{align} \right. | \displaystyle \begin{align}(2)\\[5pt] (3')\end{align} |
Wir erweitern die Quadraten in (3'),
| \displaystyle 54^2 - 2\cdot 54\cdot y + y^2 = x^2 + 2\cdot 6\cdot x + 6^2 + 36^2\,, |
und vereinfachen
| \displaystyle 2916 - 108y + y^2 = x^2 + 12x + 1332\,\textrm{.} |
Wir verwenden (2) und ersetzen \displaystyle y^2 mit \displaystyle x^2+12 in dieser Gleichung
| \displaystyle 2916 - 108y + x^2 + 144 = x^2 + 12x + 1332\,. |
So eliminieren wir allex²-Terme:
| \displaystyle 2916 - 108y + 144 = 12x + 1332\,. |
Durch weitere Vereinfachung erhalten wir
| \displaystyle 12x + 108y = 1728 | (3") |
Wir haben jetzt die Gleichungen (2) und (3') in die Gleichungen (2) und (3) gebracht, wobei (3) linear ist.
| \displaystyle \left\{ \begin{align}
& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt] & 12x+108y=1728\,\textrm{.} \end{align} \right. | \displaystyle \begin{align}(2)\\[5pt] (3")\end{align} |
Wir lösen y in der Gleichung (3"),
| \displaystyle y=\frac{1728-12x}{108}=16-\frac{x}{9} |
und ersetzen y mit \displaystyle 16-\frac{x}{9} in (2),
| \displaystyle \Bigl(16-\frac{x}{9}\Bigr)^2 = x^2 + 144\,\textrm{.} |
Dies ist eine Gleichung mit nur einer Unbekannten x. Diese lösen wir, indem wir zuerst die Quadrate auf der linken Seite erweitern:
| \displaystyle 16^{2}-2\cdot 16\cdot \frac{x}{9} + \Bigl(\frac{x}{9} \Bigr)^2 = x^2 + 144\,. |
Dann schreiben wir alle Terme auf eine Seite
| \displaystyle x^2 - \frac{x^{2}}{81} + \frac{32}{9}x + 144 - 16^{2} = 0\,, |
und erhalten damit
| \displaystyle \frac{80}{81}x^2 + \frac{32}{9}x - 112 = 0\,\textrm{.} |
Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle 81/80, damit wir die Gleichung auf Standardform bringen:
| \displaystyle x^{2} + \frac{18}{5}x - \frac{567}{5} = 0\,\textrm{.} |
Quadratische Ergänzung auf der linken Seite ergibt
| \displaystyle \Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{9}{5}\Bigr)^{2} - \frac{567}{5} = 0 |
oder
| \displaystyle \Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 = \frac{81}{25} + \frac{567}{5} = \frac{2916}{25}\,, |
und also ist
| \displaystyle x = -\frac{9}{5}\pm \sqrt{\frac{2916}{25}} = -\frac{9}{5}\pm \frac{54}{5}\,\textrm{.} |
Also hat die Gleichung die Lösungen
| \displaystyle x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{and}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.} |
Die Antwort ist also \displaystyle x=9\ \textrm{dm} (Die negative Lösung müssen wir verwerfen).
Um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben, können wir zuerst y und z berechnen und testen, ob diese Werte zusammen mit x die Gleichungen (1) - (3) erfüllen.
Die Gleichung (3") gibt
| \displaystyle y = 16-\frac{x}{9} = 16-1 = 15 |
und die Gleichung (1) gibt
| \displaystyle z=54-y=54-15=39\,\textrm{.} |
Jetzt prüfen wir, ob \displaystyle x=9, \displaystyle y=15 und \displaystyle z=39 die Gleichungen (1), (2) und (3) erfüllen:
| \displaystyle \begin{align}
\textrm{Linke Seite von (1)} &= 15+39 = 54\,,\\[5pt] \textrm{Rechte Seite von (1)} &= 54\,,\\[10pt] \textrm{Linke Seite von (2)} &= 15^2 = 225\,,\\[5pt] \textrm{Rechte Seite von (2)} &= 9^2 + 12^2 = 81+144 = 225\,,\\[10pt] \textrm{Linke Seite von (3)} &= 39^2 = 1521\,,\\[5pt] \textrm{Rechte Seite von (3)} &= (9+6)^2 + 36^2 = 15^2 + 36^2 = 225+1296 = 1521\,\textrm{.} \end{align} |
