Lösung 4.1:4c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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| - | Die ''x''-Achse besteht aus allen Punkten <math>(x,0)</math>, | + | Die ''x''-Achse besteht aus allen Punkten <math>(x,0)</math>, wobei ''x'' die Unbekannte sei. Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir den Abstand zwischen <math>(x,0)</math> und <math>(3,3)</math> sowie zwischen <math>(5,1)</math> und <math>(x,0)</math>: |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(x-3)^2+(0-3)^2}\qquad\text{und}\qquad \sqrt{(x-5)^2+(0-1)^2}\,\textrm{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(x-3)^2+(0-3)^2}\qquad\text{und}\qquad \sqrt{(x-5)^2+(0-1)^2}\,\textrm{.}</math>}} |
| - | Nachdem die beiden Abstände gleich sein sollen, erhalten wir | + | Nachdem die beiden Abstände gleich sein sollen, erhalten wir: |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(x-3)^2+9} = \sqrt{(x-5)^2+1}</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(x-3)^2+9} = \sqrt{(x-5)^2+1}\,.</math>}} |
Wir quadrieren diese Gleichung und erhalten | Wir quadrieren diese Gleichung und erhalten | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 + 9 = (x-5)^2+1\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 + 9 = (x-5)^2+1\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Wir erweitern alle Terme | + | Wir erweitern alle Terme und schreiben danach alle auf eine Seite, |
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| - | Dies ergibt <math>x=2</math>, | + | Dies ergibt <math>x=2</math>, also ist der Punkt auf der ''x''-Achse <math>(2,0)\,</math>. |
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| - | Zum Schluss kontrollieren wir ob die beiden Abstände auch wirklich gleich sind. Der Abstand zwischen <math>(2,0)</math> und <math>(3,3)</math> | + | Zum Schluss kontrollieren wir, ob die beiden Abstände auch wirklich gleich sind. Der Abstand zwischen <math>(2,0)</math> und <math>(3,3)</math> |
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(5-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(5-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Hinweis: Obwohl wir unsere Gleichung quadriert haben, besteht kein Risiko Scheingleichungen zu erhalten, nachdem die | + | Hinweis: Obwohl wir unsere Gleichung quadriert haben, besteht kein Risiko Scheingleichungen zu erhalten, nachdem die Quadrate in der Wurzel immer positiv sind. |
Version vom 13:45, 16. Jun. 2009
Die x-Achse besteht aus allen Punkten \displaystyle (x,0), wobei x die Unbekannte sei. Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir den Abstand zwischen \displaystyle (x,0) und \displaystyle (3,3) sowie zwischen \displaystyle (5,1) und \displaystyle (x,0):
| \displaystyle \sqrt{(x-3)^2+(0-3)^2}\qquad\text{und}\qquad \sqrt{(x-5)^2+(0-1)^2}\,\textrm{.} |
Nachdem die beiden Abstände gleich sein sollen, erhalten wir:
| \displaystyle \sqrt{(x-3)^2+9} = \sqrt{(x-5)^2+1}\,. |
Wir quadrieren diese Gleichung und erhalten
| \displaystyle (x-3)^2 + 9 = (x-5)^2+1\,\textrm{.} |
Wir erweitern alle Terme und schreiben danach alle auf eine Seite,
| \displaystyle \begin{align}
& x^2-6x+9+9 = x^2-10x+25+1\\[5pt] &\quad\Leftrightarrow\quad 4x-8=0\,\textrm{.} \end{align} |
Dies ergibt \displaystyle x=2, also ist der Punkt auf der x-Achse \displaystyle (2,0)\,.
Zum Schluss kontrollieren wir, ob die beiden Abstände auch wirklich gleich sind. Der Abstand zwischen \displaystyle (2,0) und \displaystyle (3,3) ist
| \displaystyle \sqrt{(3-2)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} |
und der Abstand zwischen \displaystyle (2,0) und \displaystyle (5,1) ist
| \displaystyle \sqrt{(5-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}\,\textrm{.} |
Hinweis: Obwohl wir unsere Gleichung quadriert haben, besteht kein Risiko Scheingleichungen zu erhalten, nachdem die Quadrate in der Wurzel immer positiv sind.
