4.1 Winkel und Kreise

Beispiel 1

1. \displaystyle 30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ rad } = \frac{\pi}{6}\ \mbox{ rad }
2. \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radians } = \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{rad}\,) = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ

Beispiel 2

1. Die Winkel \displaystyle -55^\circ und \displaystyle 665^\circ repräsentieren denselben Punkt, nachdem

   \displaystyle -55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}

2. Die Winkel \displaystyle \frac{3\pi}{7} und \displaystyle -\frac{11\pi}{7} repräsentieren denselben Punkt, nachdem

   \displaystyle \frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}

3. Die Winkel \displaystyle 36^\circ und \displaystyle 216^\circ repräsentieren nicht denselben Punkt, nachdem

   \displaystyle 36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}

Beispiel 3

Beispiel 4

1. Der Abstand zwischen \displaystyle (1,2) und \displaystyle (3,1) ist

   \displaystyle d = \sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}

2. Der Abstand zwischen \displaystyle (-1,0) und \displaystyle (-2,-5) ist

   \displaystyle d = \sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}

Beispiel 5

1. Laut Definition des Radianten ist die Länge des Kreisbogens der Winkel in Radianten multipliziert mit dem Radius

   \displaystyle 3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ Einheiten } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ Einheiten . }

2. Bestimmen sie die Fläche des Kreissektors
   
   Der Kreissektor nimmt den Anteil

   \displaystyle \frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}

   der Fläche des Kreises ein. Deshalb ist die Fläche des Kreissektors \displaystyle \frac{5}{36} von der ganzen Fläche des Kreises, welche \displaystyle \pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi ist. Also ist die Fläche des Kreissektors

   \displaystyle \frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ Einheiten }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ Einheiten. }

Beispiel 6

Beispiel 7

1. Liegt der Punkt \displaystyle (1,2) auf dem Kreis \displaystyle (x-4)^2 +y^2=13?
   
   Wir kontrollieren, ob \displaystyle x=1 und \displaystyle y=2 die Gleichung des Kreises erfüllen:

   \displaystyle \begin{align*} \mbox{linke Seite } &= (1-4)^2+2^2\\ &= (-3)^2+2^2 = 9+4 = 13 = \mbox{Rechte Seite}\,\mbox{.} \end{align*}

   Nachdem der Punkt die Gleichung des Kreises erfüllt, liegt er auf dem Kreis.

   

2. Bestimmen Sie die Gleichung für den Kreis, der den Mittelpunkt \displaystyle (3,4) hat und durch den Punkt \displaystyle (1,0) geht.
   
   Nachdem der Punkt \displaystyle (1,0) auf dem Kreis liegt, muss der Abstand zwischen diesem Punkt und dem Mittelpunkt \displaystyle (3,4) der Radius des Kreises sein. Also haben wir

   \displaystyle c = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{}

   und die Gleichung des Kreises lautet:

   \displaystyle (x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}

   

Beispiel 8

Bestimmen Sie den Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung \displaystyle \ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0.

Wir wollen die Gleichung des Kreises auf die Form

bringen. Dann können wir den Mittelpunkt direkt als \displaystyle (a,b) ablesen, und den Radius als \displaystyle r.

Wir benutzen zuerst die quadratische Ergänzung für alle \displaystyle x-Terme auf der linken Seite

 \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1
 = \underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1

(Wir haben nur die unterstrichenen Terme manipuliert)

Jetzt benutzen wir die quadratische Ergänzung für alle \displaystyle y-Terme

 (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1
 = (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}

Die linke Seite ist also

Wenn wir 4 zu beiden Seiten addieren, erhalten wir

Also hat der Kreis den Mittelpunkt \displaystyle (1,-2) und den Radius \displaystyle \sqrt{4}= 2.