Lösung 3.4:3c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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With the log laws, we can write the left-hand side as one logarithmic expression,
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Mit einem der Logarithmusgesetze können wir die linke Seite mit nur einem Logarithmusterm schreiben:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\ln x+\ln (x+4) = \ln (x(x+4))\,,</math>}}
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<math>\ln x+\ln \left( x+4 \right)=\ln \left( x\left( x+4 \right) \right)</math>
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Dies setzt aber voraus, dass die Ausdrücke <math>\ln x</math> und <math>\ln (x+4)</math> definiert sind, also dass <math>x > 0</math> und <math>x+4 > 0\,</math>. Also müssen wir beachten, dass die Lösungen ''x'' der Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>\ln (x(x+4)) = \ln (2x+3)</math>}}
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but this rewriting presupposes that the expressions
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<math>x > 0</math> erfüllt sind (<math>x+\text{4}>0</math> ist dann automatisch erfüllt).
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<math>\text{ln }x\text{ }</math>
+
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and
+
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<math>\text{ln}\left( x+\text{4} \right)</math>
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are defined, i.e.
+
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<math>x>0</math>
+
-
and
+
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<math>x+\text{4}>0</math>. Therefore, if we choose to continue with the equation
+
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Die Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn die Argumente <math>x(x+4)</math> und <math>2x+3</math> der Logarithmen gleich und grösser als null sind :
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<math>\ln \left( x\left( x+4 \right) \right)=\ln \left( 2x+3 \right)</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x(x+4) = 2x+3\,\textrm{.}</math>}}
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Dies entspricht der Gleichung <math>x^2+2x-3=0</math>. Durch quadratische Ergänzung erhalten wir die Lösungen
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we must remember to permit only solutions that satisfy
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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<math>x>0</math>
+
(x+1)^2-1^2-3 &= 0\,,\\
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(the condition
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(x+1)^2=4\,,
-
<math>x+\text{4}>0</math>
+
\end{align}</math>}}
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is then automatically satisfied).
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The equation rewritten in this way is, in turn, only satisfied if the arguments
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Also ist <math>x=-1\pm 2</math> oder <math>x=-3</math> und <math>x=1\,</math>.
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<math>x\left( x+\text{4} \right)\text{ }</math>
+
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and
+
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<math>\text{2}x+\text{3}</math>
+
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are equal to each other and positive, i.e.
+
-
 
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Nachdem <math>x=-3</math> negativ ist, ist dies keine gültige Lösung. <math>x=1</math> im erfüllt im Gegensatz dazu <math>x > 0</math> und <math>x(x+4) = 2x+3 > 0\,</math>. Daher ist die Lösung <math>x=1\,</math>.
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<math>x\left( x+\text{4} \right)=\text{2}x+\text{3}</math>
+
-
 
+
-
 
+
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We rewrite this equation as
+
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<math>x^{\text{2}}-\text{2}x-\text{3}=0</math>
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and completing the square gives
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<math>\begin{align}
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& \left( x+1 \right)^{2}-1^{2}-3=0 \\
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& \left( x+1 \right)^{2}=4 \\
+
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\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
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which means that
+
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<math>x=-\text{1}\pm \text{2}</math>, i.e.
+
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<math>x=-\text{3}</math>
+
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and
+
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<math>x=\text{1}</math>.
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-
 
+
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Because
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<math>x=-\text{3}</math>
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-
is negative, we neglect it, whilst for
+
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<math>x=\text{1}</math>
+
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we have both that
+
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<math>x>0\text{ }</math>
+
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and
+
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<math>x\left( x+\text{4} \right)=\text{2}x+\text{3}>0</math>. Therefore, the answer is
+
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<math>x=\text{1}</math>.
+

Aktuelle Version

Mit einem der Logarithmusgesetze können wir die linke Seite mit nur einem Logarithmusterm schreiben:

\displaystyle \ln x+\ln (x+4) = \ln (x(x+4))\,,

Dies setzt aber voraus, dass die Ausdrücke \displaystyle \ln x und \displaystyle \ln (x+4) definiert sind, also dass \displaystyle x > 0 und \displaystyle x+4 > 0\,. Also müssen wir beachten, dass die Lösungen x der Gleichung

\displaystyle \ln (x(x+4)) = \ln (2x+3)

\displaystyle x > 0 erfüllt sind (\displaystyle x+\text{4}>0 ist dann automatisch erfüllt).

Die Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn die Argumente \displaystyle x(x+4) und \displaystyle 2x+3 der Logarithmen gleich und grösser als null sind :

\displaystyle x(x+4) = 2x+3\,\textrm{.}

Dies entspricht der Gleichung \displaystyle x^2+2x-3=0. Durch quadratische Ergänzung erhalten wir die Lösungen

\displaystyle \begin{align}

(x+1)^2-1^2-3 &= 0\,,\\ (x+1)^2=4\,, \end{align}

Also ist \displaystyle x=-1\pm 2 oder \displaystyle x=-3 und \displaystyle x=1\,.

Nachdem \displaystyle x=-3 negativ ist, ist dies keine gültige Lösung. \displaystyle x=1 im erfüllt im Gegensatz dazu \displaystyle x > 0 und \displaystyle x(x+4) = 2x+3 > 0\,. Daher ist die Lösung \displaystyle x=1\,.

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