Lösung 3.4:3a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K
Zeile 14: Zeile 14:
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}}
-
und sammeln alle Terma auf einer Seite,
+
und sammeln alle Terme auf einer Seite:
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}
-
Es kann schwierig sein zu sehen ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben <math>e > 2</math> und daher <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>. Also haben wir <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, und die rechte Seite ist also positiv.
+
Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben <math>e > 2</math> und daher <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>. Also haben wir <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, also ist die rechte Seite positiv.
Daher hat die Gleichung die Lösungen
Daher hat die Gleichung die Lösungen
Zeile 24: Zeile 24:
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}
-
welches auch wie
+
was auch als
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}</math>}}
geschrieben werden kann.
geschrieben werden kann.

Version vom 14:06, 12. Jun. 2009

Die rechte und linke Seite, sind für alle x positiv, und also können wir die beiden Seiten der Gleichung logarithmieren,

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= \ln 2^{-x^{2}} = -x^{2}\cdot \ln 2\,,\\[5pt] \text{Rechte Seite} &= \ln \bigl(2e^{2x}\bigr) = \ln 2 + \ln e^{2x} = \ln 2 + 2x\cdot \ln e = \ln 2 + 2x\cdot 1\,\textrm{.} \end{align}

Diese Gleichung entspricht

\displaystyle x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0\,\textrm{.}

Wir lösen die Gleichung durch quadratische Ergänzung

\displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,

und sammeln alle Terme auf einer Seite:

\displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}

Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben \displaystyle e > 2 und daher \displaystyle \ln 2 < \ln e = 1\,. Also haben wir \displaystyle (1/\ln 2)^{2} > 1\,, also ist die rechte Seite positiv.

Daher hat die Gleichung die Lösungen

\displaystyle x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,

was auch als

\displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}

geschrieben werden kann.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.4:3a“