Lösung 3.4:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K
 
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Regardless of what value
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Beide Seiten der Gleichung sind positiv, unabhängig von ''x''. Daher können wir beide Seiten direkt logarithmieren. Durch die Logarithmusgesetze erhalten wir
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<math>x</math>
+
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has, both sides of the equation are positive, because they are of the type "positive number raised to something". It is therefore possible to take the logarithm of both sides and, by using the log laws, to get
+
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<math>x</math>
+
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down from the exponents:
+
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LHS
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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<math>=\ln \left( 3e^{x^{2}} \right)=\ln 3+\ln e^{x^{2}}=\ln 3+x^{2}\ln e=\ln 3+x^{2}</math>
+
\text{Linke Seite}
 +
&= \ln\bigl( 3e^{x^{2}}\bigr)
 +
= \ln 3 + \ln e^{x^2}
 +
= \ln 3 + x^2\ln e
 +
= \ln 3 + x^2\,\textrm{,}\\[5pt]
 +
\text{Rechte Seite}
 +
&= \ln 2^x = x\ln 2\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
RHS
+
Wir sammeln alle Terme auf einer Seite der Gleichung und erhalten
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<math>=\ln 2^{x}=x\ln 2</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-x\cdot \ln 2 + \ln 3 = 0</math>}}
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If we collect the terms onto one side, the equation becomes
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Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir durch quadratische Ergänzung lösen
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\Bigl(x-\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} + \ln 3 = 0\,\textrm{,}\\[5pt]
 +
\Bigl(x-\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} - \ln 3\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
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<math>x^{2}-x\centerdot \ln 2+\ln 3=0</math>
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Nachdem <math>2 < e < 3</math> und daher <math>\ln 2 < 1 < \ln 3</math>, ist <math>\tfrac{1}{4}(\ln 2)^2 < \ln 3</math> und die rechte Seite der Gleichung ist also negativ. Nachdem die linke Seite der Gleichung ein Quadrat ist, ist sie immer positiv. Also hat die Gleichung keine Lösung.
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+
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which is a standard second-order equation for which we complete the square:
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<math>\begin{align}
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& \left( x-\frac{1}{2}\ln 2 \right)^{2}-\left( \frac{1}{2}\ln 2 \right)^{2}+\ln 3=0 \\
+
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& \left( x-\frac{1}{2}\ln 2 \right)^{2}=\left( \frac{1}{2}\ln 2 \right)^{2}-\ln 3 \\
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\end{align}</math>
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Now, we have to be cautious and remember that, because
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<math>\text{2}<e<\text{3}</math>
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and thus
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<math>\text{ln 2}<\text{1}<\text{ln 3}</math>
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which means that
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<math>\frac{1}{4}\left( \ln 2 \right)^{2}<\ln 3</math>
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and the right-hand side is therefore negative. Since the square on the right-hand side cannot be negative, the equation has no solution.
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Aktuelle Version

Beide Seiten der Gleichung sind positiv, unabhängig von x. Daher können wir beide Seiten direkt logarithmieren. Durch die Logarithmusgesetze erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= \ln\bigl( 3e^{x^{2}}\bigr) = \ln 3 + \ln e^{x^2} = \ln 3 + x^2\ln e = \ln 3 + x^2\,\textrm{,}\\[5pt] \text{Rechte Seite} &= \ln 2^x = x\ln 2\,\textrm{.} \end{align}

Wir sammeln alle Terme auf einer Seite der Gleichung und erhalten

\displaystyle x^{2}-x\cdot \ln 2 + \ln 3 = 0

Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir durch quadratische Ergänzung lösen

\displaystyle \begin{align}

\Bigl(x-\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} + \ln 3 = 0\,\textrm{,}\\[5pt] \Bigl(x-\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} - \ln 3\,\textrm{.} \end{align}

Nachdem \displaystyle 2 < e < 3 und daher \displaystyle \ln 2 < 1 < \ln 3, ist \displaystyle \tfrac{1}{4}(\ln 2)^2 < \ln 3 und die rechte Seite der Gleichung ist also negativ. Nachdem die linke Seite der Gleichung ein Quadrat ist, ist sie immer positiv. Also hat die Gleichung keine Lösung.

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