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Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Beide Seiten der Gleichung sind positiv, unabhängig von ''x''. Daher können wir beide Seiten direkt logarithmieren. Durch die Logarithmusgesetze erhalten wir
-	<center> [[Image:3_4_2c.gif]] </center>	+
-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	\text{Linke Seite}
		+	&= \ln\bigl( 3e^{x^{2}}\bigr)
		+	= \ln 3 + \ln e^{x^2}
		+	= \ln 3 + x^2\ln e
		+	= \ln 3 + x^2\,\textrm{,}\\[5pt]
		+	\text{Rechte Seite}
		+	&= \ln 2^x = x\ln 2\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}
		+
		+	Wir sammeln alle Terme auf einer Seite der Gleichung und erhalten
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-x\cdot \ln 2 + \ln 3 = 0</math>}}
		+
		+	Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir durch quadratische Ergänzung lösen
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	\Bigl(x-\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} + \ln 3 = 0\,\textrm{,}\\[5pt]
		+	\Bigl(x-\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} - \ln 3\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}
		+
		+	Nachdem <math>2 < e < 3</math> und daher <math>\ln 2 < 1 < \ln 3</math>, ist <math>\tfrac{1}{4}(\ln 2)^2 < \ln 3</math> und die rechte Seite der Gleichung ist also negativ. Nachdem die linke Seite der Gleichung ein Quadrat ist, ist sie immer positiv. Also hat die Gleichung keine Lösung.

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Aktuelle Version

Beide Seiten der Gleichung sind positiv, unabhängig von x. Daher können wir beide Seiten direkt logarithmieren. Durch die Logarithmusgesetze erhalten wir

Linke SeiteRechte Seite=ln3ex2=ln3+lnex2=ln3+x2lne=ln3+x2,=ln2x=xln2.

Wir sammeln alle Terme auf einer Seite der Gleichung und erhalten

x2−xln2+ln3=0

Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir durch quadratische Ergänzung lösen

x−21ln22−21ln22+ln3=0,x−21ln22=21ln22−ln3.

Nachdem 2e3 und daher ln21ln3, ist 41(ln2)2ln3 und die rechte Seite der Gleichung ist also negativ. Nachdem die linke Seite der Gleichung ein Quadrat ist, ist sie immer positiv. Also hat die Gleichung keine Lösung.