Lösung 3.4:2c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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| + | \text{Linke Seite} | ||
| + | &= \ln\bigl( 3e^{x^{2}}\bigr) | ||
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| + | \text{Rechte Seite} | ||
| + | &= \ln 2^x = x\ln 2\,\textrm{.} | ||
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| + | Wir sammeln alle Terme auf einer Seite der Gleichung und erhalten | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-x\cdot \ln 2 + \ln 3 = 0</math>}} | ||
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| + | Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir durch quadratische Ergänzung lösen | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | \Bigl(x-\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} + \ln 3 = 0\,\textrm{,}\\[5pt] | ||
| + | \Bigl(x-\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} - \ln 3\,\textrm{.} | ||
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| + | Nachdem <math>2 < e < 3</math> und daher <math>\ln 2 < 1 < \ln 3</math>, ist <math>\tfrac{1}{4}(\ln 2)^2 < \ln 3</math> und die rechte Seite der Gleichung ist also negativ. Nachdem die linke Seite der Gleichung ein Quadrat ist, ist sie immer positiv. Also hat die Gleichung keine Lösung. | ||
Aktuelle Version
Beide Seiten der Gleichung sind positiv, unabhängig von x. Daher können wir beide Seiten direkt logarithmieren. Durch die Logarithmusgesetze erhalten wir
| \displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite} &= \ln\bigl( 3e^{x^{2}}\bigr) = \ln 3 + \ln e^{x^2} = \ln 3 + x^2\ln e = \ln 3 + x^2\,\textrm{,}\\[5pt] \text{Rechte Seite} &= \ln 2^x = x\ln 2\,\textrm{.} \end{align} |
Wir sammeln alle Terme auf einer Seite der Gleichung und erhalten
| \displaystyle x^{2}-x\cdot \ln 2 + \ln 3 = 0 |
Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir durch quadratische Ergänzung lösen
| \displaystyle \begin{align}
\Bigl(x-\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} + \ln 3 = 0\,\textrm{,}\\[5pt] \Bigl(x-\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} - \ln 3\,\textrm{.} \end{align} |
Nachdem \displaystyle 2 < e < 3 und daher \displaystyle \ln 2 < 1 < \ln 3, ist \displaystyle \tfrac{1}{4}(\ln 2)^2 < \ln 3 und die rechte Seite der Gleichung ist also negativ. Nachdem die linke Seite der Gleichung ein Quadrat ist, ist sie immer positiv. Also hat die Gleichung keine Lösung.
