Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	In the equation, both sides are positive because the factors	+	Beide Seiten der Gleichung sind positiv, nachdem <math>e^{x}</math> und <math>3^{-x}</math> für alle <math>x</math> positiv sind. Daher können wir beide Seiten logarithmieren
-	<math>e^{x}</math>	+
-	and	+
-	<math>3^{-x}</math>	+
-	are positive regardless of the value of	+
-	<math>x</math>	+
-	(a positive base raised to a number always gives a positive number). We can therefore take the natural logarithm of both numbers,	+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\ln\bigl(13e^{x}\bigr) = \ln\bigl(2\cdot 3^{-x}\bigr)\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>\ln \left( 13e^{x} \right)=\ln \left( 2\centerdot 3^{-x} \right)</math>	+	Wir benutzen die Logarithmusgesetze und erhalten
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 13+\ln e^{x} =\ln 2+\ln 3^{-x}</math>}}
-	Using the log law, we can divide up the products into several logarithmic terms,	+	und
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 13 + x\ln e = \ln 2 + (-x)\ln 3\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>\ln 13+\ln e^{x}=\ln 2+\ln 3^{-x}</math>	+	Wir schreiben alle <math>x</math>-Terme auf eine Seite:
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x\ln e+x\ln 3=\ln 2-\ln 13\,\textrm{.}</math>}}
-	and using the law
-	<math>\ln a^{b}=b\centerdot \ln a</math>, we can get rid of
-	<math>x</math>
-	from the exponents:
		+	Dann verwenden wir, dass <math>\ln e=1</math>:
-	<math>\ln 13+x\ln e=\ln 2+\left( -x \right)\ln 3</math>	+	{{Abgesetzte Formel||<math>x( 1+\ln 3)=\ln 2-\ln 13\,\textrm{.}</math>}}
		+	Jetzt lösen wir die Gleichung für <math>x</math>:
-	Collecting together	+	{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\ln 2-\ln 13}{1+\ln 3}\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>x</math>	+
-	on one side and the other terms on the other,	+
-	<math>x\ln e+x\ln 3=\ln 2-\ln 13</math>	+	Hinweis: Nachdem <math>\ln 2 < \ln 13</math>, können wir die Antwort als
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{\ln 13-\ln 2}{1+\ln 3}</math>}}
-	Take out	+	schreiben, um zu zeigen, dass <math>x</math> negativ ist.
-	<math>x</math>	+
-	on the left-hand side and use	+
-	<math>\ln e=1</math>	+
-	:	+
-		+
-		+
-	<math>x\left( 1+\ln 3 \right)=\ln 2-\ln 13</math>	+
-		+
-		+
-	Then, solve for	+
-	<math>x</math>	+
-	:	+
-		+
-		+
-	<math>x=\frac{\ln 2-\ln 13}{1+\ln 3}</math>	+
-		+
-		+
-	NOTE: Because	+
-	<math>\ln 2<\ln 13</math>, we can write the answer as	+
-		+
-		+
-	<math>x=-\frac{\ln 13-\ln 2}{1+\ln 3}</math>	+
-		+
-		+
-	in order to indicate that	+
-	<math>x</math>	+
-	is negative.	+

---

Aktuelle Version

Beide Seiten der Gleichung sind positiv, nachdem \displaystyle e^{x} und \displaystyle 3^{-x} für alle \displaystyle x positiv sind. Daher können wir beide Seiten logarithmieren

\displaystyle \ln\bigl(13e^{x}\bigr) = \ln\bigl(2\cdot 3^{-x}\bigr)\,\textrm{.}

Wir benutzen die Logarithmusgesetze und erhalten

\displaystyle \ln 13+\ln e^{x} =\ln 2+\ln 3^{-x}

und

\displaystyle \ln 13 + x\ln e = \ln 2 + (-x)\ln 3\,\textrm{.}

Wir schreiben alle \displaystyle x-Terme auf eine Seite:

\displaystyle x\ln e+x\ln 3=\ln 2-\ln 13\,\textrm{.}

Dann verwenden wir, dass \displaystyle \ln e=1:

\displaystyle x( 1+\ln 3)=\ln 2-\ln 13\,\textrm{.}

Jetzt lösen wir die Gleichung für \displaystyle x:

\displaystyle x=\frac{\ln 2-\ln 13}{1+\ln 3}\,\textrm{.}

Hinweis: Nachdem \displaystyle \ln 2 < \ln 13, können wir die Antwort als

\displaystyle x=-\frac{\ln 13-\ln 2}{1+\ln 3}

schreiben, um zu zeigen, dass \displaystyle x negativ ist.