Lösung 3.3:6c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Mit den Relationen <math>2^{\log_{2}x} = x</math> und <math>3^{\log_{3}x} = x</math> erhalten wir <math>\log_{2}</math> und <math>\log_{3}</math> als <math>\ln</math> ausgedrückt:
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Die beiden Terme <math>\log_3 118</math> und <math>\log_3\log_2 3</math> können deshalb als
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geschrieben werden. Mit Hilfe des Logarithmengesetzes log (a/b) = log a – log b können wir den Ausdruck weiter vereinfachen und danach <math>\log _{3}</math> in ln umzuwandeln:
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Zusammen erhalten wir
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Mit den Rechner erhalten wir
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Aktuelle Version

Wir verwenden die Logarithmengesetze

\displaystyle \begin{align}

\log a^b &= b\cdot\log a\,\text{und}\\[5pt] \log (a\cdot b) &= \log a+\log b\,, \end{align}

um den Ausdruck zu vereinfachen

\displaystyle \begin{align}

\log_{3}\log _{2}3^{118} &= \log_{3}(118\cdot\log_{2}3)\\[5pt] &= \log_{3}118 + \log_{3}\log_{2}3\,\textrm{.} \end{align}

Mit den Relationen \displaystyle 2^{\log_{2}x} = x und \displaystyle 3^{\log_{3}x} = x erhalten wir \displaystyle \log_{2} und \displaystyle \log_{3} als \displaystyle \ln ausgedrückt:

\displaystyle \log_{2}x=\frac{\ln x}{\ln 2}\quad und \displaystyle \quad\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln 3}\,\textrm{.}

Die beiden Terme \displaystyle \log_3 118 und \displaystyle \log_3\log_2 3 können deshalb als

\displaystyle \log_{3}118 = \frac{\ln 118}{\ln 3}\quad und \displaystyle \quad\log_{3}\log_{2}3 = \log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}\,

geschrieben werden. Mit Hilfe des Logarithmengesetzes log (a/b) = log a – log b können wir den Ausdruck weiter vereinfachen und danach \displaystyle \log _{3} in ln umzuwandeln:

\displaystyle \begin{align}

\log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2} &= \log_{3}\ln 3 - \log_{3}\ln 2\\[5pt] &= \frac{\ln\ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.} \end{align}

Zusammen erhalten wir

\displaystyle \log_{3}\log_{2}3^{118} = \frac{\ln 118}{\ln 3} + \frac{\ln \ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.}

Mit den Rechner erhalten wir

\displaystyle \log_{3}\log_{2}3^{118}\approx 4\textrm{.}762\,\textrm{.}


Hinweis: auf dem Rechner schreiben wir


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