Lösung 3.3:6c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
(Unterschied zwischen Versionen)
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:3_3_6c-1(2).gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}} {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:3_3_6c-2(2).gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}}) |
(Sprache und Formulierung) |
||
| (Der Versionsvergleich bezieht 8 dazwischen liegende Versionen mit ein.) | |||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| - | {{ | + | Wir verwenden die Logarithmengesetze |
| - | < | + | |
| - | {{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} |
| - | {{ | + | \log a^b &= b\cdot\log a\,\text{und}\\[5pt] |
| - | < | + | \log (a\cdot b) &= \log a+\log b\,, |
| - | {{ | + | \end{align}</math>}} |
| + | |||
| + | um den Ausdruck zu vereinfachen | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | \log_{3}\log _{2}3^{118} | ||
| + | &= \log_{3}(118\cdot\log_{2}3)\\[5pt] | ||
| + | &= \log_{3}118 + \log_{3}\log_{2}3\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
| + | |||
| + | Mit den Relationen <math>2^{\log_{2}x} = x</math> und <math>3^{\log_{3}x} = x</math> erhalten wir <math>\log_{2}</math> und <math>\log_{3}</math> als <math>\ln</math> ausgedrückt: | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\log_{2}x=\frac{\ln x}{\ln 2}\quad</math> und <math>\quad\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln 3}\,\textrm{.}</math>}} | ||
| + | |||
| + | Die beiden Terme <math>\log_3 118</math> und <math>\log_3\log_2 3</math> können deshalb als | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}118 = \frac{\ln 118}{\ln 3}\quad</math> und <math>\quad\log_{3}\log_{2}3 = \log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}\,</math>}} | ||
| + | |||
| + | geschrieben werden. Mit Hilfe des Logarithmengesetzes log (a/b) = log a – log b können wir den Ausdruck weiter vereinfachen und danach <math>\log _{3}</math> in ln umzuwandeln: | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | \log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2} | ||
| + | &= \log_{3}\ln 3 - \log_{3}\ln 2\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{\ln\ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
| + | |||
| + | Zusammen erhalten wir | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}\log_{2}3^{118} = \frac{\ln 118}{\ln 3} + \frac{\ln \ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.}</math>}} | ||
| + | |||
| + | Mit den Rechner erhalten wir | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}\log_{2}3^{118}\approx 4\textrm{.}762\,\textrm{.}</math>}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Hinweis: auf dem Rechner schreiben wir | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <center> | ||
| + | {| | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|1 | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|1 | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|8 | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|LN | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|÷ | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|3 | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|LN | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|+ | ||
| + | |} | ||
| + | |- | ||
| + | |height="7px"| | ||
| + | |- | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|3 | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|LN | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|LN | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|÷ | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|3 | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|LN | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|- | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|2 | ||
| + | |} | ||
| + | |- | ||
| + | |height="7px"| | ||
| + | |- | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|LN | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|LN | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|÷ | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|3 | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|LN | ||
| + | |} | ||
| + | || | ||
| + | || | ||
| + | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
| + | |width="30px" align="center"|= | ||
| + | |} | ||
| + | |} | ||
| + | </center> | ||
Aktuelle Version
Wir verwenden die Logarithmengesetze
| \displaystyle \begin{align}
\log a^b &= b\cdot\log a\,\text{und}\\[5pt] \log (a\cdot b) &= \log a+\log b\,, \end{align} |
um den Ausdruck zu vereinfachen
| \displaystyle \begin{align}
\log_{3}\log _{2}3^{118} &= \log_{3}(118\cdot\log_{2}3)\\[5pt] &= \log_{3}118 + \log_{3}\log_{2}3\,\textrm{.} \end{align} |
Mit den Relationen \displaystyle 2^{\log_{2}x} = x und \displaystyle 3^{\log_{3}x} = x erhalten wir \displaystyle \log_{2} und \displaystyle \log_{3} als \displaystyle \ln ausgedrückt:
| \displaystyle \log_{2}x=\frac{\ln x}{\ln 2}\quad und \displaystyle \quad\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln 3}\,\textrm{.} |
Die beiden Terme \displaystyle \log_3 118 und \displaystyle \log_3\log_2 3 können deshalb als
| \displaystyle \log_{3}118 = \frac{\ln 118}{\ln 3}\quad und \displaystyle \quad\log_{3}\log_{2}3 = \log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}\, |
geschrieben werden. Mit Hilfe des Logarithmengesetzes log (a/b) = log a – log b können wir den Ausdruck weiter vereinfachen und danach \displaystyle \log _{3} in ln umzuwandeln:
| \displaystyle \begin{align}
\log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2} &= \log_{3}\ln 3 - \log_{3}\ln 2\\[5pt] &= \frac{\ln\ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.} \end{align} |
Zusammen erhalten wir
| \displaystyle \log_{3}\log_{2}3^{118} = \frac{\ln 118}{\ln 3} + \frac{\ln \ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.} |
Mit den Rechner erhalten wir
| \displaystyle \log_{3}\log_{2}3^{118}\approx 4\textrm{.}762\,\textrm{.} |
Hinweis: auf dem Rechner schreiben wir
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
