Lösung 3.3:6a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K
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-
The calculator does not have button for
+
Der Rechner hat keinen <math>\log_{3}</math>-Knopf, sondern nur einen <math>\ln</math>-Knopf, also müssen wir <math>\log_{3}4</math> zur Basis ''e'' schreiben.
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<math>\log _{3}</math>, but it does have one for the natural logarithm ln, so we need to rewrite
+
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<math>\log _{3}4</math>
+
-
in terms of ln.
+
-
If we go back to the definition of the logarithm, we see that
+
Nach der Definition des Logarithmus erhalten wir
-
<math>\log _{3}4</math>
+
-
is that number which satisfies
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>3^{\log _{3}4} = 4\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>3^{\log _{3}4}=4</math>
+
Wir logarithmieren beide Seiten (zur Basis ''e''):
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 3^{\log _{3}4}=\ln 4\,\textrm{.}</math>}}
-
Now, take the natural logarithm of both sides,
+
Mit dem Logarithmengesetz <math>\lg a^b = b\lg a</math> können wir die linke Seite als <math>\log_{3}4\cdot\ln 3</math> schreiben und wir erhalten:
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}4\cdot \ln 3 = \ln 4\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\ln 3^{\log _{3}4}=\ln 4</math>
+
Nach Division durch <math>\ln 3</math> erhalten wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}4 = \frac{\ln 4}{\ln 3} = \frac{1\textrm{.}386294\,\ldots}{1\textrm{.}098612\,\ldots} = 1\textrm{.}2618595\,\ldots</math>}}
-
Using the logarithm law,
+
Gerundet ergibt dies 1.262.
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<math>\lg a^{b}=b\lg a</math>, the left-hand side can be written as
+
-
<math>\log _{3}4\centerdot \ln 3</math>
+
-
and the relation is
+
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<math>\log _{3}4\centerdot \ln 3=\ln 4</math>
+
Hinweis: Auf dem Rechner drücken wir
-
 
+
<center>
-
Thus, after dividing by
+
{|
-
<math>\text{ln 3}</math>, we have
+
||
-
 
+
{| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0"
-
 
+
|width="30px" align="center"|4
-
<math>\log _{3}4=\frac{\ln 4}{\ln 3}=\frac{1.386294...}{1.098612...}=1.2618595</math>
+
|}
-
 
+
||&nbsp;&nbsp;
-
 
+
||
-
which gives 1.262 as the rounded-off answer.
+
{| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0"
-
 
+
|width="30px" align="center"|LN
-
NOTE: on a calculator, the answer is obtained by pressing the buttons
+
|}
-
 
+
||&nbsp;&nbsp;
-
 
+
||
-
<math>\left[ 4 \right]\quad \left[ \text{LN} \right]\quad \left[ \div \right]\quad \left[ 3 \right]\quad \left[ \text{LN} \right]\quad \left[ = \right]</math>
+
{| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0"
 +
|width="30px" align="center"|÷
 +
|}
 +
||&nbsp;&nbsp;
 +
||
 +
{| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0"
 +
|width="30px" align="center"|3
 +
|}
 +
||&nbsp;&nbsp;
 +
||
 +
{| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0"
 +
|width="30px" align="center"|LN
 +
|}
 +
||&nbsp;&nbsp;
 +
||
 +
{| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0"
 +
|width="30px" align="center"|=
 +
|}
 +
|}
 +
</center>

Aktuelle Version

Der Rechner hat keinen \displaystyle \log_{3}-Knopf, sondern nur einen \displaystyle \ln-Knopf, also müssen wir \displaystyle \log_{3}4 zur Basis e schreiben.

Nach der Definition des Logarithmus erhalten wir

\displaystyle 3^{\log _{3}4} = 4\,\textrm{.}

Wir logarithmieren beide Seiten (zur Basis e):

\displaystyle \ln 3^{\log _{3}4}=\ln 4\,\textrm{.}

Mit dem Logarithmengesetz \displaystyle \lg a^b = b\lg a können wir die linke Seite als \displaystyle \log_{3}4\cdot\ln 3 schreiben und wir erhalten:

\displaystyle \log_{3}4\cdot \ln 3 = \ln 4\,\textrm{.}

Nach Division durch \displaystyle \ln 3 erhalten wir

\displaystyle \log_{3}4 = \frac{\ln 4}{\ln 3} = \frac{1\textrm{.}386294\,\ldots}{1\textrm{.}098612\,\ldots} = 1\textrm{.}2618595\,\ldots

Gerundet ergibt dies 1.262.


Hinweis: Auf dem Rechner drücken wir

4
  
LN
  
÷
  
3
  
LN
  
=
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