Lösung 3.3:4c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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| - | + | Alle Argumente können wie Potenzen zur Basis 3 geschrieben werden: | |
| - | {{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} |
| - | 27^{\frac{1}{3}} &= \bigl(3^3\bigr)^{\frac{1}{3}} = 3^{3\cdot\frac{1}{3}} = 3^1 = 3\, | + | 27^{\frac{1}{3}} &= \bigl(3^3\bigr)^{\frac{1}{3}} = 3^{3\cdot\frac{1}{3}} = 3^1 = 3\,\text{und}\\[5pt] |
| - | \frac{1}{9} &= \frac{1}{3^2} = 3^{-2}\, | + | \frac{1}{9} &= \frac{1}{3^2} = 3^{-2}\,.\\ |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | + | Wir vereinfachen den Ausdruck mit Hilfe des Logarithmengesetzes | |
| - | {{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} |
\lg 27^{\frac{1}{3}} + \frac{\lg 3}{2} + \lg \frac{1}{9} | \lg 27^{\frac{1}{3}} + \frac{\lg 3}{2} + \lg \frac{1}{9} | ||
&= \lg 3 + \frac{1}{2}\lg 3 + \lg 3^{-2}\\[5pt] | &= \lg 3 + \frac{1}{2}\lg 3 + \lg 3^{-2}\\[5pt] | ||
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\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | + | Dieser Ausdruck kann nicht weiter vereinfacht werden. | |
Aktuelle Version
Alle Argumente können wie Potenzen zur Basis 3 geschrieben werden:
| \displaystyle \begin{align}
27^{\frac{1}{3}} &= \bigl(3^3\bigr)^{\frac{1}{3}} = 3^{3\cdot\frac{1}{3}} = 3^1 = 3\,\text{und}\\[5pt] \frac{1}{9} &= \frac{1}{3^2} = 3^{-2}\,.\\ \end{align} |
Wir vereinfachen den Ausdruck mit Hilfe des Logarithmengesetzes
| \displaystyle \begin{align}
\lg 27^{\frac{1}{3}} + \frac{\lg 3}{2} + \lg \frac{1}{9} &= \lg 3 + \frac{1}{2}\lg 3 + \lg 3^{-2}\\[5pt] &= \lg 3 + \frac{1}{2}\lg 3 + (-2)\cdot\lg 3\\[5pt] &= \Bigl(1+\frac{1}{2}-2\Bigr)\lg 3\\[5pt] &= -\frac{1}{2}\lg 3\,\textrm{.} \end{align} |
Dieser Ausdruck kann nicht weiter vereinfacht werden.
