Lösung 3.1:5c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (09:54, 10. Jun. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
K
 
(Der Versionsvergleich bezieht 4 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
The trick is to use the conjugate rule
+
Wir erinnern uns an die Binomische Formel <math>(a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2}</math> und erweitern den Bruch mit <math>3-\sqrt{7}</math>, damit der Nenner eine ganze Zahl wird. Wir erhalten so
-
<math>\left( a-b \right)(a+b)=a^{\text{2}}-b^{\text{2}}</math>
+
-
and multiply the top and bottom of the fraction by
+
-
<math>3-\sqrt{7}</math>
+
-
(note the minus sign), since then the new denominator will be
+
-
<math>\left( 3+\sqrt{7} \right)\left( 3-\sqrt{7} \right)=3^{2}-\left( \sqrt{7} \right)^{2}=9-7=2</math>
+
-
(conjugate rule with
+
-
<math>a=\text{3 }</math>
+
-
and
+
-
<math>b=\sqrt{\text{7}}</math>
+
-
), i.e. the root sign is squared away.
+
-
The whole calculation is
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
 
+
\frac{2}{3+\sqrt{7}}
-
 
+
&= \frac{2}{3+\sqrt{7}}\cdot\frac{3-\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}}
-
<math>\begin{align}
+
= \frac{2(3-\sqrt{7}\,)}{3^{2}-(\sqrt{7}\,)^{2}}\\[5pt]
-
& \frac{2}{3+\sqrt{7}}=\frac{2}{3+\sqrt{7}}\centerdot \frac{3-\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}}=\frac{2\left( 3-\sqrt{7} \right)}{3^{2}-\left( \sqrt{7} \right)^{2}} \\
+
&= \frac{2\cdot 3-2\sqrt{7}}{2} = 3-\sqrt{7}\,\textrm{.}
-
& =\frac{2\centerdot 3-2\sqrt{7}}{2}=3-\sqrt{7} \\
+
\end{align}</math>}}
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Wir erinnern uns an die Binomische Formel \displaystyle (a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2} und erweitern den Bruch mit \displaystyle 3-\sqrt{7}, damit der Nenner eine ganze Zahl wird. Wir erhalten so

\displaystyle \begin{align}

\frac{2}{3+\sqrt{7}} &= \frac{2}{3+\sqrt{7}}\cdot\frac{3-\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}} = \frac{2(3-\sqrt{7}\,)}{3^{2}-(\sqrt{7}\,)^{2}}\\[5pt] &= \frac{2\cdot 3-2\sqrt{7}}{2} = 3-\sqrt{7}\,\textrm{.} \end{align}

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.1:5c“