Lösung 2.3:5b

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Anstatt einfach verschiedene ''x''-Werte auszuprobieren, verwenden wir quadratische Ergänzung:
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<center> [[Image:2_3_5b.gif]] </center>
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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4x^{2} - 28x + 48
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&= 4(x^{2} - 7x + 12)\\[5pt]
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&= 4\bigl((x-\tfrac{7}{2})^{2} - (\tfrac{7}{2})^{2} + 12\bigr)\\[5pt]
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&= 4\bigl((x-\tfrac{7}{2})^{2} - \tfrac{49}{4} + \tfrac{48}{4}\bigr)\\[5pt]
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&= 4\bigl((x-\tfrac{7}{2})^{2} - \tfrac{1}{4}\bigr)\\[5pt]
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&= 4\bigl(x - \tfrac{7}{2}\bigr)^{2}-1\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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In dieser Gleichung sehen wir, dass der Ausdruck negativ ist für z.B. <math>x=7/2</math>.
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In Wirklichkeit ist der Ausdruck negativ für alle ''x''-Werte zwischen 3 und 4.

Aktuelle Version

Anstatt einfach verschiedene x-Werte auszuprobieren, verwenden wir quadratische Ergänzung:

\displaystyle \begin{align}

4x^{2} - 28x + 48 &= 4(x^{2} - 7x + 12)\\[5pt] &= 4\bigl((x-\tfrac{7}{2})^{2} - (\tfrac{7}{2})^{2} + 12\bigr)\\[5pt] &= 4\bigl((x-\tfrac{7}{2})^{2} - \tfrac{49}{4} + \tfrac{48}{4}\bigr)\\[5pt] &= 4\bigl((x-\tfrac{7}{2})^{2} - \tfrac{1}{4}\bigr)\\[5pt] &= 4\bigl(x - \tfrac{7}{2}\bigr)^{2}-1\,\textrm{.} \end{align}

In dieser Gleichung sehen wir, dass der Ausdruck negativ ist für z.B. \displaystyle x=7/2.

In Wirklichkeit ist der Ausdruck negativ für alle x-Werte zwischen 3 und 4.

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