Lösung 2.3:1d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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We apply the standard formula for completing the square,
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Wir verwenden die Formel für quadratische Ergänzung
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{{Displayed math||<math>x^{2}+ax = \Bigl(x+\frac{a}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^{2}\,\textrm{,}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+ax = \Bigl(x+\frac{a}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^{2}\,\textrm{,}</math>}}
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on our expression and this gives
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Wir haben
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{{Displayed math||<math>x^{2}+5x = \Bigl(x+\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{5}{2}\Bigr)^{2} = \Bigl(x+\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{25}{4}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+5x = \Bigl(x+\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{5}{2}\Bigr)^{2} = \Bigl(x+\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{25}{4}\,\textrm{.}</math>}}
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The whole expression becomes
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Unser Ausdruck wird dadurch
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
x^{2}+5x+3
x^{2}+5x+3
&= \Bigl(x+\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{25}{4}+3\\[5pt]
&= \Bigl(x+\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{25}{4}+3\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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A quick check shows that we have calculated correctly
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Schließlich kontrollieren wir unsere Rechnungen
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\Bigl(x+\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{13}{4}
\Bigl(x+\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{13}{4}
&= x^{2} + 2\cdot\frac{5}{2}\cdot x + \Bigl(\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{13}{4}\\[5pt]
&= x^{2} + 2\cdot\frac{5}{2}\cdot x + \Bigl(\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{13}{4}\\[5pt]

Aktuelle Version

Wir verwenden die Formel für quadratische Ergänzung

\displaystyle x^{2}+ax = \Bigl(x+\frac{a}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^{2}\,\textrm{,}

Wir haben

\displaystyle x^{2}+5x = \Bigl(x+\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{5}{2}\Bigr)^{2} = \Bigl(x+\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{25}{4}\,\textrm{.}

Unser Ausdruck wird dadurch

\displaystyle \begin{align}

x^{2}+5x+3 &= \Bigl(x+\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{25}{4}+3\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{25}{4} + \frac{12}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{5}{2}\Bigr)^{2} + \frac{12-25}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{13}{4}\,\textrm{.} \end{align}

Schließlich kontrollieren wir unsere Rechnungen

\displaystyle \begin{align}

\Bigl(x+\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{13}{4} &= x^{2} + 2\cdot\frac{5}{2}\cdot x + \Bigl(\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{13}{4}\\[5pt] &= x^{2} + 5x + \frac{25}{4} - \frac{13}{4}\\[5pt] &= x^{2} + 5x + \frac{12}{4}\\[5pt] &= x^{2}+5x+3\,\textrm{.} \end{align}

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