Lösung 2.3:1b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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When we complete the square, it is only the first two terms,
+
Bei der quadratischen Ergänzung beachten wir nur den quadratischen und den linearen Term, also <math>x^{2}+2x</math>. Die Formel für die quadratische Ergänzung von <math>x^{2}+ax</math> lautet
-
<math>x^{2}+2x</math>
+
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, that are involved. The general
+
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formula for completing the square states that
+
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<math>x^{2}+ax</math>
+
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equals
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{a}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^{2}\,\textrm{.}</math>}}
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<math>\left( x+\frac{a}{2} \right)^{2}-\left( \frac{a}{2} \right)^{2}</math>
+
Verwenden wir diese Formel, erhalten wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+2x = \Bigl(x+\frac{2}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{2}{2}\Bigr)^{2} = (x+1)^{2}-1</math>}}
-
Note how the coefficient
+
Subtrahieren wir "-1" von beiden Seiten der Gleichung, erhalten wir
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<math>a</math>
+
-
in front of the
+
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<math>x</math>
+
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turns up halved in two places.
+
-
If we use this formula, we obtain
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+2x-1 = (x+1)^{2}-1-1 = (x+1)^{2}-2\,\textrm{.}</math>}}
 +
Um zu kontrollieren, ob die quadratische Ergänzung korrekt ist, erweitern wir die Quadrate auf der Rechten Seite, und erhalten
-
<math>x^{2}+2x=\left( x+\frac{2}{2} \right)^{2}-\left( \frac{2}{2} \right)^{2}=\left( x+1 \right)^{2}-1</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^{2}-2 = x^{2}+2x+1-2 = x^{2}+2x-1</math>}}
-
 
+
-
 
+
-
and if we subtract the last "
+
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<math>1</math>
+
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" , we obtain
+
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+
-
 
+
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<math>x^{2}+2x-1=\left( x+1 \right)^{2}-1-1=\left( x+1 \right)^{2}-2</math>
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+
-
 
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To be completely certain that we have used the correct formula, we can expand the quadratic on the right-hand side,
+
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<math>\left( x+1 \right)^{2}-2=x^{2}+2x+1-2=x^{2}+2x-1</math>
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and see that the relation really holds.
+

Aktuelle Version

Bei der quadratischen Ergänzung beachten wir nur den quadratischen und den linearen Term, also \displaystyle x^{2}+2x. Die Formel für die quadratische Ergänzung von \displaystyle x^{2}+ax lautet

\displaystyle \Bigl(x+\frac{a}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^{2}\,\textrm{.}

Verwenden wir diese Formel, erhalten wir

\displaystyle x^{2}+2x = \Bigl(x+\frac{2}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{2}{2}\Bigr)^{2} = (x+1)^{2}-1

Subtrahieren wir "-1" von beiden Seiten der Gleichung, erhalten wir

\displaystyle x^{2}+2x-1 = (x+1)^{2}-1-1 = (x+1)^{2}-2\,\textrm{.}

Um zu kontrollieren, ob die quadratische Ergänzung korrekt ist, erweitern wir die Quadrate auf der Rechten Seite, und erhalten

\displaystyle (x+1)^{2}-2 = x^{2}+2x+1-2 = x^{2}+2x-1
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