Lösung 2.2:3c - Online Mathematik Brückenkurs 1

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                        1.1 Verschiedene Zahlen 
                        1.2 Brüche 
                        1.3 Potenzen
                      
                    
                      2. Algebra
                       
                        2.1 Algebraische Ausdrücke 
                        2.2 Lineare Gleichungen 
                        2.3 Quadratische Gleichungen
                      
                    
                      3. Wurzeln und Logarithmen
                       
                        3.1 Wurzeln 
                        3.2 Wurzelgleichungen 
                        3.3 Logarithmen 
                        3.4 Logarithmusgleichungen
                      
                    
                      4. Trigonometrie
                       
                        4.1 Winkel und Kreise 
                        4.2 Trig. Funktionen 
                        4.3 Trig. Eigenschaften 
                        4.4 Trig. Gleichungen
                      
                    
                      5. Schriftliche Mathematik
                       
                        5.1 Formeln schreiben 
                        5.2 Texte schreiben
                      
                    
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+			Lösung 2.2:3c
			
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- {{NAVCONTENT_START}} + \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} &= \frac{1}{x-1}\cdot\frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1}\cdot\frac{x-1}{x-1}\\[5pt] 
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  + Es gilt <math>3x-3=3(x-1)</math>, also bekommen wir die Gleichung
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{(x-1)(x+1)}\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr) = \frac{6x-1}{3(x-1)}\,\textrm{.}</math>}}
  +  
  + Wir multiplizieren jetzt beide Brüche mit dem Faktor <math>x-1</math>
  +  
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  + Danach multiplizieren wir beide Seiten mit 3 und <math>x+1</math>, damit wir eine Gleichung ohne Nenner bekommen
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>6\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr) = (6x-1)(x+1)\,\textrm{.}</math>}}
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  + Wir erweitern beide Seiten und bekommen
  +  
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  + Die <math>x^2</math>-Terme können gekürzt werden, und wir bekommen
  +  
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  + mit der Lösung
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{4}{5}\,\textrm{.}</math>}}
  +  
  + Wie immer kontrollieren wir unsere Lösung, indem wir <math>x</math> mit <math>4/5</math> in der ursprünglichen Gleichung substituieren
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
  + \text{Linke Seite} &= \biggl(\frac{1}{\frac{4}{5}-1}-\frac{1}{\frac{4}{5}+1}\biggr)\bigl( \bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr)
  + = \biggl(\frac{1}{-\frac{1}{5}}-\frac{1}{\frac{9}{5}}\biggr)\bigl(
  + \tfrac{16}{25}+\tfrac{1}{2}\bigr)\\[5pt]
  + &= \bigl(-5-\tfrac{5}{9}\bigr)\cdot\frac{16\cdot 2+25}{2\cdot 25}
  + = -\frac{50}{9}\cdot\frac{57}{50}
  + = -\frac{57}{9}
  + = -\frac{19}{3}\,,\\[15pt] 
  + \text{Rechte Seite} &= \frac{6\cdot\frac{4}{5}-1}{3\cdot\frac{4}{5}-3}
  + = \frac{\frac{24}{5}-\frac{5}{5}}{\frac{12}{5}-\frac{15}{5}}
  + = \frac{\frac{1}{5}\cdot (24-5)}{\frac{1}{5}\cdot (12-15)}
  + = \frac{19}{-3}
  + = -\frac{19}{3}\,\textrm{.}
  + \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wir erweitern die Brüche, sodass sie einen gemeinsamen Nenner bekommen





\displaystyle \begin{align}
\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} &= \frac{1}{x-1}\cdot\frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1}\cdot\frac{x-1}{x-1}\\[5pt] 
&= \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}\\[5pt]
&= \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}\\[5pt]
&= \frac{2}{(x-1)(x+1)}\,\textrm{.} 
\end{align}



Es gilt \displaystyle 3x-3=3(x-1), also bekommen wir die Gleichung





\displaystyle \frac{2}{(x-1)(x+1)}\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr) = \frac{6x-1}{3(x-1)}\,\textrm{.}


Wir multiplizieren jetzt beide Brüche mit dem Faktor \displaystyle x-1





\displaystyle \frac{2}{x+1}\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr) = \frac{6x-1}{3}\,\textrm{.}


Danach multiplizieren wir beide Seiten mit 3 und \displaystyle x+1, damit wir eine Gleichung ohne Nenner bekommen





\displaystyle 6\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr) = (6x-1)(x+1)\,\textrm{.}


Wir erweitern beide Seiten und bekommen





\displaystyle 6x^{2}+3=6x^{2}+5x-1\,\textrm{.}


Die \displaystyle x^2-Terme können gekürzt werden, und wir bekommen





\displaystyle 3=5x-1\,,


mit der Lösung





\displaystyle x=\frac{4}{5}\,\textrm{.}


Wie immer kontrollieren wir unsere Lösung, indem wir \displaystyle x mit \displaystyle 4/5 in der ursprünglichen Gleichung substituieren





\displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite} &= \biggl(\frac{1}{\frac{4}{5}-1}-\frac{1}{\frac{4}{5}+1}\biggr)\bigl( \bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr)
= \biggl(\frac{1}{-\frac{1}{5}}-\frac{1}{\frac{9}{5}}\biggr)\bigl(
\tfrac{16}{25}+\tfrac{1}{2}\bigr)\\[5pt]
&= \bigl(-5-\tfrac{5}{9}\bigr)\cdot\frac{16\cdot 2+25}{2\cdot 25}
= -\frac{50}{9}\cdot\frac{57}{50}
= -\frac{57}{9}
= -\frac{19}{3}\,,\\[15pt] 
\text{Rechte Seite} &= \frac{6\cdot\frac{4}{5}-1}{3\cdot\frac{4}{5}-3}
= \frac{\frac{24}{5}-\frac{5}{5}}{\frac{12}{5}-\frac{15}{5}}
= \frac{\frac{1}{5}\cdot (24-5)}{\frac{1}{5}\cdot (12-15)}
= \frac{19}{-3}
= -\frac{19}{3}\,\textrm{.}
\end{align}





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+Wir erweitern die Brüche, sodass sie einen gemeinsamen Nenner bekommen
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+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-{{NAVCONTENT_START}}
+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} &= \frac{1}{x-1}\cdot\frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1}\cdot\frac{x-1}{x-1}\\[5pt]
-<center> [[Image:2_2_3c-2(3).gif]] </center>
+&= \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}\\[5pt]
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+&= \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}\\[5pt]
-{{NAVCONTENT_START}}
+&= \frac{2}{(x-1)(x+1)}\,\textrm{.}
-<center> [[Image:2_2_3c-3(3).gif]] </center>
+\end{align}</math>}}
-{{NAVCONTENT_STOP}}
+Es gilt <math>3x-3=3(x-1)</math>, also bekommen wir die Gleichung
+{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{(x-1)(x+1)}\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr) = \frac{6x-1}{3(x-1)}\,\textrm{.}</math>}}
+Wir multiplizieren jetzt beide Brüche mit dem Faktor <math>x-1</math>
+{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{x+1}\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr) = \frac{6x-1}{3}\,\textrm{.}</math>}}
+Danach multiplizieren wir beide Seiten mit 3 und <math>x+1</math>, damit wir eine Gleichung ohne Nenner bekommen
+{{Abgesetzte Formel||<math>6\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr) = (6x-1)(x+1)\,\textrm{.}</math>}}
+Wir erweitern beide Seiten und bekommen
+{{Abgesetzte Formel||<math>6x^{2}+3=6x^{2}+5x-1\,\textrm{.}</math>}}
+Die <math>x^2</math>-Terme können gekürzt werden, und wir bekommen
+{{Abgesetzte Formel||<math>3=5x-1\,,</math>}}
+mit der Lösung
+{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{4}{5}\,\textrm{.}</math>}}
+Wie immer kontrollieren wir unsere Lösung, indem wir <math>x</math> mit <math>4/5</math> in der ursprünglichen Gleichung substituieren
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\text{Linke Seite} &= \biggl(\frac{1}{\frac{4}{5}-1}-\frac{1}{\frac{4}{5}+1}\biggr)\bigl( \bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr)
+= \biggl(\frac{1}{-\frac{1}{5}}-\frac{1}{\frac{9}{5}}\biggr)\bigl(
+\tfrac{16}{25}+\tfrac{1}{2}\bigr)\\[5pt]
+&= \bigl(-5-\tfrac{5}{9}\bigr)\cdot\frac{16\cdot 2+25}{2\cdot 25}
+= -\frac{50}{9}\cdot\frac{57}{50}
+= -\frac{57}{9}
+= -\frac{19}{3}\,,\\[15pt]
+\text{Rechte Seite} &= \frac{6\cdot\frac{4}{5}-1}{3\cdot\frac{4}{5}-3}
+= \frac{\frac{24}{5}-\frac{5}{5}}{\frac{12}{5}-\frac{15}{5}}
+= \frac{\frac{1}{5}\cdot (24-5)}{\frac{1}{5}\cdot (12-15)}
+= \frac{19}{-3}
+= -\frac{19}{3}\,\textrm{.}
+\end{align}</math>}}
 \displaystyle \begin{align}
\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} &= \frac{1}{x-1}\cdot\frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1}\cdot\frac{x-1}{x-1}\\[5pt] 
&= \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}\\[5pt]
&= \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}\\[5pt]
&= \frac{2}{(x-1)(x+1)}\,\textrm{.} 
\end{align}
 \displaystyle \frac{2}{(x-1)(x+1)}\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr) = \frac{6x-1}{3(x-1)}\,\textrm{.}
 \displaystyle \frac{2}{x+1}\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr) = \frac{6x-1}{3}\,\textrm{.}
 \displaystyle 6\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr) = (6x-1)(x+1)\,\textrm{.}
 \displaystyle 6x^{2}+3=6x^{2}+5x-1\,\textrm{.}
 \displaystyle 3=5x-1\,,
 \displaystyle x=\frac{4}{5}\,\textrm{.}
 \displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite} &= \biggl(\frac{1}{\frac{4}{5}-1}-\frac{1}{\frac{4}{5}+1}\biggr)\bigl( \bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr)
= \biggl(\frac{1}{-\frac{1}{5}}-\frac{1}{\frac{9}{5}}\biggr)\bigl(
\tfrac{16}{25}+\tfrac{1}{2}\bigr)\\[5pt]
&= \bigl(-5-\tfrac{5}{9}\bigr)\cdot\frac{16\cdot 2+25}{2\cdot 25}
= -\frac{50}{9}\cdot\frac{57}{50}
= -\frac{57}{9}
= -\frac{19}{3}\,,\\[15pt] 
\text{Rechte Seite} &= \frac{6\cdot\frac{4}{5}-1}{3\cdot\frac{4}{5}-3}
= \frac{\frac{24}{5}-\frac{5}{5}}{\frac{12}{5}-\frac{15}{5}}
= \frac{\frac{1}{5}\cdot (24-5)}{\frac{1}{5}\cdot (12-15)}
= \frac{19}{-3}
= -\frac{19}{3}\,\textrm{.}
\end{align}