Lösung 2.2:3b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
First, we move all the terms over to the left-hand side:
+
Zuerst sammeln wir alle Terme auf der linken Seite der Gleichung
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{4x}{4x-7}-\frac{1}{2x-3}-1=0\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\frac{4x}{4x-7}-\frac{1}{2x-3}-1=0</math>
+
Danach erweitern wir alle Terme, damit sie einen gemeinsamen Nenner bekommen
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{4x}{4x-7}\cdot\frac{2x-3}{2x-3} - \frac{1}{2x-3}\cdot\frac{4x-7}{4x-7} - \frac{(2x-3)(4x-7)}{(2x-3)(4x-7)} = 0</math>}}
-
Then, we multiply the top and bottom of all three terms by appropriate factors so that they have the same common denominator, in the following way,
+
und schreiben die linke Seite der Gleichung wie
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{4x(2x-3) - (4x-7) - (2x-3)(4x-7)}{(2x-3)(4x-7)}=0\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\frac{4x}{4x-7}\centerdot \frac{2x-3}{2x-3}-\frac{1}{2x-3}\centerdot \frac{4x-7}{4x-7}-\frac{\left( 2x-3 \right)\left( 4x-7 \right)}{\left( 2x-3 \right)\left( 4x-7 \right)}=0</math>
+
Wir erweitern den Zähler
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{8x^{2}-12x-(4x-7)-(8x^{2}-14x-12x+21)}{(2x-3)(4x-7)} = 0</math>}}
-
and so that we can rewrite the left-hand side giving
+
und vereinfachen ein wenig
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{10x-14}{(2x-3)(4x-7)}=0\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\frac{4x\left( 2x-3 \right)-\left( 4x-7 \right)-\left( 2x-3 \right)\left( 4x-7 \right)}{\left( 2x-3 \right)\left( 4x-7 \right)}=0</math>
+
Hier muss der Zähler null sein, damit die Gleichung erfüllt sein soll
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>10x-14=0\,,</math>}}
-
We expand the numerator
+
Dies ergibt <math>x=7/5\,</math>.
 +
Wir kontrollieren wie immer unsere Lösung:
-
<math>\frac{8x^{2}-12x-\left( 4x-7 \right)-\left( 8x^{2}-14x-12x+21 \right)}{\left( 2x-3 \right)\left( 4x-7 \right)}=0</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
 
+
\text{Linke Seite} &= \frac{4\cdot\frac{7}{5}}{4\cdot\frac{7}{5}-7} - \frac{1}{2\cdot\frac{7}{5}-3}
-
 
+
= \{\,\text{wir erweitern mit 5}\,\}\\[5pt]
-
and simplify
+
&= \frac{4\cdot\frac{7}{5}}{4\cdot\frac{7}{5}-7}\cdot\frac{5}{5} - \frac{1}{2\cdot \frac{7}{5}-3}\cdot\frac{5}{5}
-
 
+
= \frac{4\cdot 7}{4\cdot 7-7\cdot 5}-\frac{5}{2\cdot 7-3\cdot 5}\\[5pt]
-
 
+
&= \frac{4}{4-5}-\frac{5}{14-15}
-
<math>\frac{10x-14}{\left( 2x-3 \right)\left( 4x-7 \right)}=0</math>
+
= -4-(-5) = 1 = \text{Rechte Seite.}
-
 
+
\end{align}</math>}}
-
 
+
-
This equation is satisfied when the numerator is zero (provided the denominator is not also zero) and this happens when
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>10x-14=0</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
which gives
+
-
<math>x={7}/{5}\;</math>.
+
-
 
+
-
It can easily happen that we calculate incorrectly, so we must check that the answer
+
-
<math>x={7}/{5}\;</math>
+
-
satisfies the equation:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \text{LHS }~~~=\text{ }~~~\frac{4\centerdot \frac{7}{5}}{4\centerdot \frac{7}{5}-7}-\frac{1}{2\centerdot \frac{7}{5}-3}\text{ }=\text{ }\left\{ \text{ multiply top and bottom by 5} \right\} \\
+
-
& \text{ }~~~ \\
+
-
& =~\frac{4\centerdot \frac{7}{5}}{4\centerdot \frac{7}{5}-7}\centerdot \frac{5}{5}-\frac{1}{2\centerdot \frac{7}{5}-3}\centerdot \frac{5}{5}=\frac{4\centerdot 7}{4\centerdot 7-7\centerdot 5}-\frac{5}{2\centerdot 7-3\centerdot 5} \\
+
-
& \\
+
-
& =\frac{4}{4-5}-\frac{5}{14-15}=-4-\left( -5 \right)=1\text{ }~~~=\text{ RHS}~~~ \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Zuerst sammeln wir alle Terme auf der linken Seite der Gleichung

\displaystyle \frac{4x}{4x-7}-\frac{1}{2x-3}-1=0\,\textrm{.}

Danach erweitern wir alle Terme, damit sie einen gemeinsamen Nenner bekommen

\displaystyle \frac{4x}{4x-7}\cdot\frac{2x-3}{2x-3} - \frac{1}{2x-3}\cdot\frac{4x-7}{4x-7} - \frac{(2x-3)(4x-7)}{(2x-3)(4x-7)} = 0

und schreiben die linke Seite der Gleichung wie

\displaystyle \frac{4x(2x-3) - (4x-7) - (2x-3)(4x-7)}{(2x-3)(4x-7)}=0\,\textrm{.}

Wir erweitern den Zähler

\displaystyle \frac{8x^{2}-12x-(4x-7)-(8x^{2}-14x-12x+21)}{(2x-3)(4x-7)} = 0

und vereinfachen ein wenig

\displaystyle \frac{10x-14}{(2x-3)(4x-7)}=0\,\textrm{.}

Hier muss der Zähler null sein, damit die Gleichung erfüllt sein soll

\displaystyle 10x-14=0\,,

Dies ergibt \displaystyle x=7/5\,.

Wir kontrollieren wie immer unsere Lösung:

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= \frac{4\cdot\frac{7}{5}}{4\cdot\frac{7}{5}-7} - \frac{1}{2\cdot\frac{7}{5}-3} = \{\,\text{wir erweitern mit 5}\,\}\\[5pt] &= \frac{4\cdot\frac{7}{5}}{4\cdot\frac{7}{5}-7}\cdot\frac{5}{5} - \frac{1}{2\cdot \frac{7}{5}-3}\cdot\frac{5}{5} = \frac{4\cdot 7}{4\cdot 7-7\cdot 5}-\frac{5}{2\cdot 7-3\cdot 5}\\[5pt] &= \frac{4}{4-5}-\frac{5}{14-15} = -4-(-5) = 1 = \text{Rechte Seite.} \end{align}

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