Lösung 2.1:8c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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| + | mit dem Faktor <math>1+x</math>, sodass der Ausdruck nur einen Bruch enthält | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | \frac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+x}}} | ||
| + | &= \frac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+x}}\cdot\dfrac{1+x}{1+x}}\\[8pt] | ||
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| + | &= \frac{1}{1+\dfrac{1+x}{1+x+\dfrac{1+x}{1+x}}}\\[8pt] | ||
| + | &= \frac{1}{1+\dfrac{1+x}{1+x+1}}\\[8pt] | ||
| + | &= \frac{1}{1+\dfrac{x+1}{x+2}}\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
| + | |||
| + | Jetzt erweitern wir den Hauptbruch mit dem Faktor <math>x+2</math>, und erhalten | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | \frac{1}{1+\dfrac{x+1}{x+2}}\cdot\frac{x+2}{x+2} | ||
| + | &= \frac{x+2}{\Bigl(1+\dfrac{x+1}{x+2}\Bigr)(x+2)}\\[8pt] | ||
| + | &= \frac{x+2}{x+2+\dfrac{x+1}{x+2}(x+2)}\\[8pt] | ||
| + | &= \frac{x+2}{x+2+x+1}\\[8pt] | ||
| + | &= \frac{x+2}{2x+3}\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Hier ist es gut, den Bruch Schritt für Schritt zu vereinfachen. Als erster Schritt erweitern wir den Bruch
| \displaystyle \frac{1}{1+\dfrac{1}{1+x}} |
mit dem Faktor \displaystyle 1+x, sodass der Ausdruck nur einen Bruch enthält
| \displaystyle \begin{align}
\frac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+x}}} &= \frac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+x}}\cdot\dfrac{1+x}{1+x}}\\[8pt] &= \frac{1}{1+\dfrac{1+x}{\Bigl(1+\dfrac{1}{1+x}\Bigr)(1+x)}}\\[8pt] &= \frac{1}{1+\dfrac{1+x}{1+x+\dfrac{1+x}{1+x}}}\\[8pt] &= \frac{1}{1+\dfrac{1+x}{1+x+1}}\\[8pt] &= \frac{1}{1+\dfrac{x+1}{x+2}}\,\textrm{.} \end{align} |
Jetzt erweitern wir den Hauptbruch mit dem Faktor \displaystyle x+2, und erhalten
| \displaystyle \begin{align}
\frac{1}{1+\dfrac{x+1}{x+2}}\cdot\frac{x+2}{x+2} &= \frac{x+2}{\Bigl(1+\dfrac{x+1}{x+2}\Bigr)(x+2)}\\[8pt] &= \frac{x+2}{x+2+\dfrac{x+1}{x+2}(x+2)}\\[8pt] &= \frac{x+2}{x+2+x+1}\\[8pt] &= \frac{x+2}{2x+3}\,\textrm{.} \end{align} |
