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2.1 Algebraische Ausdrücke

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Version vom 09:37, 3. Jun. 2009

Theorie

Übungen

Inhalt:

Das Distributivgesetz
Binomische Formeln
Differenz von zwei Quadraten
Rationale Ausdrücke

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollen Sie folgendes können:

Algebraische Ausdrücke vereinfachen.
Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln faktorisieren.
Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln erweitern.

Das Distributivgesetz

Das Distributivgesetz ist die Regel für die Multiplikation von Klammern mit einem Faktor.

[Image]

Beispiel 1

\displaystyle 4(x+y) = 4x + 4y
\displaystyle 2(a-b) = 2a -2b
\displaystyle x \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) = x\cdot \frac{1}{x} + x \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{\not{x}}{\not{x}} + \frac{\not{x}}{x^{\not{2}}} = 1 + \frac{1}{x}
\displaystyle a(x+y+z) = ax + ay + az

Das Distributivgesetz erklärt auch wie ein Minuszeichen vor einer Klammer interpretiert werden soll, nämlich, dass ein Minuszeichen vor einer Klammer dasselbe ist, wie wenn man alle Zeichen in dem Ausdruck wechselt.

Beispiel 2

\displaystyle -(x+y) = (-1) \cdot (x+y) = (-1)x + (-1)y = -x-y
\displaystyle -(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x = -x^2 +x
Wo wir uns im letzten Schritt von \displaystyle -(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x\,\mbox{.} verwendet haben
\displaystyle -(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x + (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3
\displaystyle \phantom{-(x+y-y^3)}{} = -x-y+y^3
\displaystyle x^2 - 2x -(3x+2) = x^2 -2x -3x-2 = x^2 -(2+3)x -2
\displaystyle \phantom{x^2-2x-(3x+2)}{} = x^2 -5x -2

Das Distributivgesetz kann auch in umgekehrter Reihenfolge angewendet werden. Dies nennt man "Ausklammern". Oft möchte man den größten gemeinsamen Nenner ausklammern.

Beispiel 3

\displaystyle 3x +9y = 3x + 3\cdot 3y = 3(x+3y)
\displaystyle xy + y^2 = xy + y\cdot y = y(x+y)
\displaystyle 2x^2 -4x = 2x\cdot x - 2\cdot 2\cdot x = 2x(x-2)
\displaystyle \frac{y-x}{x-y} = \frac{-(x-y)}{x-y} = \frac{-1}{1} = -1

Die binomischen Formeln

Das Distributivgesetz kann angewendet werden, um andere Rechenregeln herzuleiten. Wenn wir folgenden Ausdruck beachten

\displaystyle (a+b)(c+d)

und \displaystyle (a+b) als einen Faktor betrachten, der mit der Klammer \displaystyle (c+d) multipliziert wird, bekommen wir

\displaystyle \eqalign{

 \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d)
   &= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c
      + \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr
 (a+b)\,(c+d)
   &= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}

Danach verwenden wir wieder das Distributivgesetz zweimal, und multiplizieren \displaystyle c und \displaystyle d mit ihren jeweiligen Klammern.

\displaystyle (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}

Um sich an die Formel zu erinnern kann man wie folgt denken:

[Image]

Beispiel 4

\displaystyle (x+1)(x-2) = x\cdot x + x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = x^2 -2x+x-2
\displaystyle \phantom{(x+1)(x-2)}{}=x^2 -x-2
\displaystyle 3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1) = 3(2x^2 +x-2xy-y)
\displaystyle \phantom{3(x-y)(2x+1)}{}=6x^2 +3x-6xy-3y
\displaystyle (1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x) = 2-x-2x+x^2
\displaystyle \phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2 where we have used \displaystyle -x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 = 1\cdot x^2 = x^2.

Es gibt zwei wichtige Sonderfälle von dieser Regel, nämlich wenn \displaystyle a+b und \displaystyle c+d gleich sind.

Binomische Formeln

\displaystyle (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2

\displaystyle (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2

Diese Regeln werden die erste und zweite binomische Formel genannt.

Beispiel 5

\displaystyle (x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4
\displaystyle (-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9

where \displaystyle (-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2\,\mbox{.}
\displaystyle (x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2 = x^4 -8x^2 +16
\displaystyle (x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2 +2x +1)- (x^2-2x+1)
\displaystyle \phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{}= x^2 +2x +1 -x^2 + 2x-1
\displaystyle \phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{} = 2x+2x = 4x
\displaystyle (2x+4)(x+2) = 2(x+2)(x+2) = 2(x+2)^2 = 2(x^2 + 4x+ 4)
\displaystyle \phantom{(2x+4)(x+2)}{}=2x^2 + 8x + 8
\displaystyle (x-2)^3 = (x-2)(x-2)^2 = (x-2)(x^2-4x+4)
\displaystyle \phantom{(x-2)^3}{}=x \cdot x^2 + x\cdot (-4x) + x\cdot 4 - 2\cdot x^2 - 2 \cdot (-4x)-2 \cdot 4
\displaystyle \phantom{(x-2)^3}{}=x^3 -4x^2 + 4x-2x^2 +8x -8 = x^3-6x^2 + 12x -8

Die binomischen Formeln können auch rückwärts verwendet werden, um einen Ausdruck in seine Faktoren zu zerlegen.

Beispiel 6

\displaystyle x^2 + 2x+ 1 = (x+1)^2
\displaystyle x^6-4x^3 +4 = (x^3)^2 - 2\cdot 2x^3 +2^2 = (x^3-2)^2
\displaystyle x^2 +x + \frac{1}{4} = x^2 + 2\cdot\frac{1}{2}x + \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 = \bigl(x+\frac{1}{2}\bigr)^2

Differenz von zwei Quadraten

Es gibt auch eine dritte binomische Formel, und sie lautet:

Die Differenz von zwei Quadraten:

\displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 -b^2

Diese Formel kann hergeleitet werden, indem man das Distributivgesetz zweimal verwendet.

\displaystyle (a+b)(a-b)

 = a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b)
 = a^2 -ab+ab-b^2
 = a^2 -b^2\mbox{.}

Beispiel 7

\displaystyle (x-4y)(x+4y) = x^2 -(4y)^2 = x^2 -16y^2
\displaystyle (x^2+2x)(x^2-2x)= (x^2)^2 - (2x)^2 = x^4 -4x^2
\displaystyle (y+3)(3-y)= (3+y)(3-y) = 3^2 -y^2 = 9-y^2
\displaystyle x^4 -16 = (x^2)^2 -4^2 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x^2-2^2)
\displaystyle \phantom{x^4-16}{}=(x^2+4)(x+2)(x-2)

Rationale Ausdrücke

Rechnungen mit rationalen Ausdrücken sind sehr ähnlich Rechnungen mit Brüchen

Alle Rechenregeln, die für Brüche gelten, gelten auch für rationale Ausdrücke,

\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}

 = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}
 \quad \mbox{und} \quad
 \frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}}
 = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}

Beispiel 8

\displaystyle \frac{3x}{x-y} \cdot \frac{4x}{2x+y} = \frac{3x\cdot 4x}{(x-y)\cdot(2x+y)} = \frac{12x^2}{(x-y)(2x+y)}
\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{x}}{\displaystyle \frac{x+1}{a}} = \frac{a^2}{x(x+1)}
\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x}{(x+1)^2}}{\displaystyle \frac{x-2}{x-1}} = \frac{x(x-1)}{(x-2)(x+1)^2}

Man kann den Zähler und Nenner eines rationalen Ausdruckes mit jeweils denselben Ausdruck multiplizieren. Dies nennt man wie bei Brüchen Erweitern.

\displaystyle \frac{x+2}{x+1}

 = \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)}
 = \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)}
 = \dots

Das umgekehrte geht auch, nämlich dass man den Zähler und Nenner eines rationalen Ausdruckes jeweils mit denselben Ausdruck dividiert. Dies nennt man auch wie bei Brüchen kürzen.

\displaystyle \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }

 = \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)}
 = \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}

Beispiel 9

\displaystyle \frac{x}{x+1} = \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+2}{x+2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)(x+2)}
\displaystyle \frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \frac{1}{x}
\displaystyle \frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)} = \left\{\,\text{Binomische Formel}\,\right\} = \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)} = \frac{x-y}{x+2}

Wenn man Brüche addiert oder subtrahiert, muss man die Brüche zuerst erweitern sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben,

\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}

 = \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x}
 = \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)}
 = \frac{x-1-x}{x(x-1)}
 = \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}

Um die Ausdrücke so klein wie möglich zu behalten, sollte man immer den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche finden.

Beispiel 10

\displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle (x+1)(x+2)

Wir erweitern den ersten Bruch mit \displaystyle (x+2) und den zweiten Bruch mit \displaystyle (x+1)

\displaystyle \begin{align*}

   \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}
     &= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt]
     &= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)}
      = \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.}
   \end{align*}

\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x^2

Wir müssen nur den ersten Bruch erweitern um, den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bekommen.
\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}
= \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}

\displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x^2(x+1)^2(x+2)

Wie erweitern den ersten Bruch mit \displaystyle x(x+2) und den zweiten Bruch mit \displaystyle (x+1)^2

\displaystyle \begin{align*}

   \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}
     &= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)}
        - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
     &= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
     &= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
     &= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
     &= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.}
   \end{align*}

\displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x(x-1)(x+1)

Wir müssen alle Brüche erweitern sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben\displaystyle x(x-1)(x+1)

\displaystyle \begin{align*}

   \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1
     &= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
        - \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
     &= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
        - \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
     &= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
     &= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
     &= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}\,\mbox{.}
   \end{align*}

Um große Ausdrücke zu vereinfachen, kürzt man häufig die Brüche. Um Brüche zu kürzen, müssen die Brüche in ihre Faktoren zerlegt sein, sodass man die Faktoren erkennt. Deshalb solltem man Ausdrücke immer fatorisiert behalten, und nicht erweitern, bevor man mit den Rechnungen fertig ist.

Beispiel 11

\displaystyle \frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)} = \left\{\,\mbox{Kleinste gemeinsamer Nenner} = (x+2)(x-2)\,\right\}

\displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}

\displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2 -4}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} = \frac{1}{x+2}
\displaystyle \frac{x + \displaystyle \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2+1}{x}}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x}
\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2-x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{y^2-x^2}{x^2y^2(x+y)}

\displaystyle \phantom{\smash{\frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y}}}{} = \frac{(y+x)(y-x)}{x^2y^2(x+y)} = \frac{y-x}{x^2y^2}

Übungen

Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Sie fertig mit der Theorie sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".

Bedenken Sie folgendes:

Vorsicht! Ein Rechenfehler kann die ganze Rechnung zerstören.

Rechnen Sie lieber in mehreren Schritten als in einem Schritt, falls Sie sich unsicher fühlen.

Das erweitern von Ausdrücken ist oft unnötig, nachdem Sie den Ausdruck später vielleicht kürzen müssen.

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Understanding Algebra - English text on the Web

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