Lösung 4.4:8c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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When we have a trigonometric equation which contains a mixture of different trigonometric functions, a useful strategy can be to rewrite the equation so that it is expressed in terms of just one of the functions. Sometimes, it is not easy to find a way to rewrite it, but in the present case a plausible way is to replace the “1” in the numerator of the left-hand side with <math>\sin^2\!x + \cos^2\!x</math>
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Wir versuchen die Gleichung durch trigonometrische Identitäten umzuschreiben, sodass sie nur einen trigonometrische Funktion enthält. Durch den trigonometrischen Pythagoras erhalten wir
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using the Pythagorean identity. This means that the equation's left-hand side can be written as
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\cos ^{2}x} = \frac{\cos^2\!x + \sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1 + \frac{\sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1+\tan^2\!x</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\cos ^{2}x} = \frac{\cos^2\!x + \sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1 + \frac{\sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1+\tan^2\!x</math>}}
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and the expression is then completely expressed in terms of tan x,
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Und wir können die Gleichung in nur tan x-Terme Schreiben,
{{Abgesetzte Formel||<math>1 + \tan^2\!x = 1 - \tan x\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 + \tan^2\!x = 1 - \tan x\,\textrm{.}</math>}}
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If we substitute <math>t=\tan x</math>, we see that we have a quadratic equation in ''t'', which, after simplifying, becomes <math>t^2+t=0</math> and has roots <math>t=0</math> and <math>t=-1</math>. There are therefore two possible values for
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Benennen wir <math>t=\tan x</math>, erhalten wir eine quadratische Gleichung für ''t'', die vereinfacht <math>t^2+t=0</math> ist. Diese Gleichung hat die Lösungen <math>t=0</math> und <math>t=-1</math>. Daher muss ''x'' entweder die Gleichung <math>\tan x=0</math> oder die Gleichung <math>\tan x=-1\,</math> erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen <math>x=n\pi</math> und die zweite die Lösungen <math>x=3\pi/4+n\pi\,</math>.
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<math>\tan x</math>, <math>\tan x=0</math> or <math>\tan x=-1\,</math>. The first equality is satisfied when <math>x=n\pi</math> for all integers ''n'', and the second when <math>x=3\pi/4+n\pi\,</math>.
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The complete solution of the equation is
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Also erhalten wir zusammen die Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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x &= \frac{3\pi}{4}+n\pi\,,
x &= \frac{3\pi}{4}+n\pi\,,
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
 

Version vom 12:18, 7. Apr. 2009

Wir versuchen die Gleichung durch trigonometrische Identitäten umzuschreiben, sodass sie nur einen trigonometrische Funktion enthält. Durch den trigonometrischen Pythagoras erhalten wir

\displaystyle \frac{1}{\cos ^{2}x} = \frac{\cos^2\!x + \sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1 + \frac{\sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1+\tan^2\!x

Und wir können die Gleichung in nur tan x-Terme Schreiben,

\displaystyle 1 + \tan^2\!x = 1 - \tan x\,\textrm{.}

Benennen wir \displaystyle t=\tan x, erhalten wir eine quadratische Gleichung für t, die vereinfacht \displaystyle t^2+t=0 ist. Diese Gleichung hat die Lösungen \displaystyle t=0 und \displaystyle t=-1. Daher muss x entweder die Gleichung \displaystyle \tan x=0 oder die Gleichung \displaystyle \tan x=-1\, erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x=n\pi und die zweite die Lösungen \displaystyle x=3\pi/4+n\pi\,.

Also erhalten wir zusammen die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{3\pi}{4}+n\pi\,, \end{align}\right.

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