4.4 Trigonometrische Gleichungen

Beispiel 1

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,\sin x = \frac{1}{2}.

Wir wollen alle Winkel finden, die den Sinus \displaystyle \tfrac{1}{2} haben. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir dass es zwei solche winkel \displaystyle x gibt.

Wir haben hier also die beiden Winkeln \displaystyle 30^\circ = \pi / 6 und, durch Symmetrie, \displaystyle 180^\circ – 30^\circ = 150^\circ, die den y-Wert \displaystyle \sin x = \tfrac{1}{2} entsprechen. Im Intervall zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 2\pi sind dies auch die einzigen solchen Winkeln.

Aber, nachdem wir zu einen Winkel einen Multipel von \displaystyle 2\pi addieren können ohne den Sinus zu ändern, haben wir auch folgende Lösungen,

   x &= \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\\
   x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi
 \end{cases}

wo \displaystyle n eine beliebige ganze Zahl ist. Dies wird die allgemeine Lösung der Gleichung genannt.

Betrachtet man den Graph von \displaystyle y = \sin x, sieht man auch dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat, nachdem die Kurven \displaystyle y = \sin x und \displaystyle y=\tfrac{1}{2} unendlich viele Schnittstellen haben.

Beispiel 2

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,\cos x = \frac{1}{2}.

Wir betrachten den Einheitskreis.

Wir wissen dass der Kosinus für \displaystyle \pi/3, \displaystyle \tfrac{1}{2} ist. Betrachten wir den Einheitskreis sehen wir dass der Winkel \displaystyle -\pi/3 auch den Kosinus \displaystyle \tfrac{1}{2} hat. Addieren wir einen Multipel von \displaystyle 2\pi zu diesen Winkeln, erhalten wir die Allgemeine Lösung,

wo \displaystyle n eine beliebige ganze Zahl ist.

Beispiel 3

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,\tan x = \sqrt{3}.

Wir wissen von vorher dass der Winkel \displaystyle x=\pi/3 die Gleichung erfüllt.

Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir dass jede halbe Umdrehung des Winkels, dieselbe Steigung wie der Winkel hat, und also denselben Tangens.

Daher erhalten wir die allgemeine Lösung indem \displaystyle \pi mehrmals zur Lösung addieren. So erhalten wir die Lösungen \displaystyle \pi/3, \displaystyle \pi/3 +\pi, \displaystyle \pi/3+ \pi +\pi etc. Die allgemeine Lösung der Gleichung ist daher

wo \displaystyle n eine beliebige ganze Zahl ist.

Beispiel 4

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,\cos 2x – 4\cos x + 3= 0.

Wir verwenden \displaystyle \cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1 und erhalten

Durch Division durch 2 erhalten wir

Wir faktorisieren die linke Seite

Diese Gleichung ist nur erfüllt wenn \displaystyle \cos x = 1. Diese Gleichung lösen wir wir vorher, und die allgemeine Lösung ist

 x = 2n\pi \qquad (\,n \mbox{ arbitrary integer).}

Beispiel 5

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0.

Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir \displaystyle 1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x, und wir bekommen

Wir hohlen den Faktor \displaystyle \sin x heraus und erhalten

 \sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}

So sehen wir dass die Lösungen der Gleichung, die Gleichungen \displaystyle \sin x = 0 oder \displaystyle \sin x = -\tfrac{1}{2} erfüllen müssen. Diese Gleichungen lösen wir wie im Beispiel 1. Die Lösungen sind

 \begin{cases}
   x &= n\pi\\
   x &= -\pi/6+2n\pi\\
   x &= 7\pi/6+2n\pi
 \end{cases}
 \qquad (\,n\ \text{ arbitrary integer})\mbox{.}

Beispiel 6 Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,\sin 2x =4 \cos x.

Durch die Doppelwinkelfunktion für Kosinus erhalten wir

Dividieren wir durch 2, und hohlen den Faktor \displaystyle \cos x heraus, erhalten wir

Also müssen die Lösungen dieser Gleichung einer der Gleichungen

• \displaystyle \cos x = 0,
• \displaystyle \sin x = 2.

erfüllen. Nachdem \displaystyle \sin x nie größer als 1 ist, hat die zweite Gleichung keine Lösungen. Die erste Gleichung hingegen, hat die Lösungen \displaystyle x = \pi / 2 + n \cdot \pi.

Beispiel 7

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,4\sin^2\!x – 4\cos x = 1.

Wir verwenden das Gesetz des Pythagoras, und ersetzen \displaystyle \sin^2\!x mit \displaystyle 1 – \cos^2\!x. So erhalten wir

 \begin{align*}
   4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
   4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
   –4\cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\\
   \cos^2\!x + \cos x – \tfrac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\\
 \end{align*}

Dies ist eine quadratische Gleichung für \displaystyle \cos x, mit den Lösungen

 \cos x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{and}\quad
 \cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}

Nachdem \displaystyle \cos x nie kleiner als \displaystyle –1 ist, hat die erste Gleichung keine Lösung. Also hat die Gleichung nur dieselbe Lösungen wie die Gleichung

die wir im Beispiel 2 gelöst haben.