Lösung 4.3:9

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Using the formula for double angles on <math>\sin 160^{\circ}</math> gives
+
Wir verwenden die Doppelwinkelfunktion für <math>\sin 160^{\circ}</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 160^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 160^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}
-
On the right-hand side, we see that the factor <math>\cos 80^{\circ}</math> has appeared, and if we use the formula for double angles on the second factor (<math>\sin 80^{\circ}</math>),
+
Wir verwenden jetzt die Doppelwinkelfunktion für den Faktor <math>\sin 80^{\circ}</math>, nachdem wir den Faktor math>\cos 80^{\circ}</math> behalten möchten
{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\sin 40^{\circ}\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\sin 40^{\circ}\,,</math>}}
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we obtain a further factor <math>\cos 40^{\circ}</math>. A final application of the formula for double angles on <math>\sin 40^{\circ }</math> gives us all three cosine factors,
+
Wir verwenden noch einmal die Doppelwinkelfunktion, dieses Mal für den Faktor <math>\sin 40^{\circ}</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot\sin 40^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot 2\cos 20^{\circ}\sin 20^{\circ}\,\textrm{·}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot\sin 40^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot 2\cos 20^{\circ}\sin 20^{\circ}\,\textrm{·}</math>}}
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We have thus succeeded in showing that
+
Also haben wir gezeigt dass
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 160^{\circ} = 8\cos 80^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ}\cdot\sin 20^{\circ}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 160^{\circ} = 8\cos 80^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ}\cdot\sin 20^{\circ}</math>}}
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which can also be written as
+
oder anders geschrieben,
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos 80^{\circ}\cdot\cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos 80^{\circ}\cdot\cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}}\,\textrm{.}</math>}}
[[Image:4_3_9.gif||right]]
[[Image:4_3_9.gif||right]]
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If we draw the unit circle, we see that <math>160^{\circ}</math> makes an angle of
+
 
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<math>20^{\circ}</math> with the negative ''x''-axis, and therefore the angles
+
Zeichnen wir den Winkel <math>160^{\circ}</math> im Einheitskreis, sehen wir dass der Winkel denselben ''y''-Koordinaten wie der Winkel <math>20^{\circ}</math> hat, und daher denselben Sinus. Also erhalten wir
-
<math>20^{\circ}</math> and <math>160^{\circ}</math> have the same ''y''-coordinate in the unit circle, i.e.
+
<center><math>\sin 20^{\circ} = \sin 160^{\circ}\,\textrm{.}</math></center>
<center><math>\sin 20^{\circ} = \sin 160^{\circ}\,\textrm{.}</math></center>
-
This shows that
+
und also haben wir die Gleichung
<center><math>\cos 80^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}} = \frac{1}{8}\,\textrm{.}</math></center>
<center><math>\cos 80^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}} = \frac{1}{8}\,\textrm{.}</math></center>
 +
 +
gezeigt.

Version vom 13:29, 5. Apr. 2009

Wir verwenden die Doppelwinkelfunktion für \displaystyle \sin 160^{\circ}

\displaystyle \sin 160^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ}\,\textrm{.}

Wir verwenden jetzt die Doppelwinkelfunktion für den Faktor \displaystyle \sin 80^{\circ}, nachdem wir den Faktor math>\cos 80^{\circ}</math> behalten möchten

\displaystyle 2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\sin 40^{\circ}\,,

Wir verwenden noch einmal die Doppelwinkelfunktion, dieses Mal für den Faktor \displaystyle \sin 40^{\circ}

\displaystyle 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot\sin 40^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot 2\cos 20^{\circ}\sin 20^{\circ}\,\textrm{·}

Also haben wir gezeigt dass

\displaystyle \sin 160^{\circ} = 8\cos 80^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ}\cdot\sin 20^{\circ}

oder anders geschrieben,

\displaystyle \cos 80^{\circ}\cdot\cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}}\,\textrm{.}

Zeichnen wir den Winkel \displaystyle 160^{\circ} im Einheitskreis, sehen wir dass der Winkel denselben y-Koordinaten wie der Winkel \displaystyle 20^{\circ} hat, und daher denselben Sinus. Also erhalten wir

\displaystyle \sin 20^{\circ} = \sin 160^{\circ}\,\textrm{.}

und also haben wir die Gleichung

\displaystyle \cos 80^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}} = \frac{1}{8}\,\textrm{.}

gezeigt.

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