4.3 Trigonometrische Eigenschaften

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Robot: Automated text replacement (-Useful([\s\n]+)web([\s\n]+)sites +Nützliche Websites))
Zeile 9: Zeile 9:
{{Info|
{{Info|
'''Inhalt:'''
'''Inhalt:'''
-
* The Pythagorean identity
+
* Der trigonometrische Pythagoras
-
* The double-angle and half-angle formulas
+
* Die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln
-
* Addition and subtraction formulas
+
* Die Additionstheoreme
}}
}}
Zeile 17: Zeile 17:
'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
-
Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können:
+
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
-
*Derive trigonometric relationships from symmetries in the unit circle.
+
* Trigonometrische Identitäten durch den Einheitskreis herleiten.
-
* Simplify trigonometric expressions with the help of trigonometric formulas.
+
* Trigonometrische Ausdrücke mit den Trigonometrischen Identitäten vereinfachen.
}}
}}
-
== Introduction ==
+
== Einführung ==
 +
Es gibt viele trigonometrische Formeln um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln benennt man meistens die Trigonometrische Identitäten- Wir werden hier einige Trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrische Pythagoras hergeleitet werden, die also sehr zentrale Identitäten sind.
-
There is a variety of trigonometric formulas to use if one wishes to transform between the sine, cosine or tangent for an angle or multiples of an angle. They are usually known as the trigonometric identities, since they only lead to different ways to describe a single expression using a variety of trigonometric functions. Here we will give some of these trigonometric relationships. There are many more than we can deal with in this course. Most can be derived from the so-called Pythagorean identity and the addition and subtraction formulas or identities (see below), which are important to know by heart.
+
== Der trigonometrische Pythagoras ==
-
 
+
-
 
+
-
== The Pythagorean identity ==
+
{| width="100%"
{| width="100%"
| width="100%" valign="center" |
| width="100%" valign="center" |
-
This identity is the most basic, but is in fact nothing more than Pythagorean theorem, applied to the unit circle. The right-angled triangle on the right shows that
+
Dieses Gesetz ist eigentlich nur ein Sonderfall des Gesetz des Pythagoras, für Dreiecke im Einheitskreis. Durch das rechtwinklige Dreieck im Bild, sehen wir dass
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}</math>}}
Zeile 41: Zeile 39:
-
== Symmetries ==
+
== Symmetrien ==
-
With the help of the unit circle and reflection, and exploiting the symmetries of the trigonometric functions one obtains a large amount of relationships between the cosine and sine functions.
+
Mit Spiegelungen im Einheitskreis, kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.
<div class="regel">
<div class="regel">
Zeile 63: Zeile 61:
</div>
</div>
-
Instead of trying to learn all of these relationships by heart, it might be better to learn how to derive them from the unit circle.
+
Wie gesagt kann man diese Symmetrien einfach mit dem Einheitskreis herleiten.
-
'''Reflection in the ''x''-axis'''
+
'''Spiegelung in der ''x''-Achse'''
{|
{|
|-
|-
Zeile 73: Zeile 71:
| width=45% valign=top |
| width=45% valign=top |
<br>
<br>
-
When an angle <math>v</math> is reflected in the ''x''-axis it becomes<math>-v</math>.
+
Durch Spiegelung in der ''x''-Achse bekommt der Winkel <math>v</math>, <math>-v</math>.
-
 
+
Die Spiegelung bewirkt nicht die ''x''-Koordinate, während die ''y''-Koordinate Vorzeichen tauscht.
-
Reflection does not affect the ''x''- coordinate while the ''y''-coordinate changes sign
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\
\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\
Zeile 86: Zeile 83:
-
'''Reflection in the ''y''-axis'''
+
'''Spiegelung in der ''x''-Achse'''
{|
{|
|-
|-
Zeile 93: Zeile 90:
| width=45% valign=top |
| width=45% valign=top |
<br>
<br>
-
Reflection in the ''y''-axis changes the angle <math>v</math> to <math>\pi-v</math> (the reflection makes an angle <math>v</math> with the negative ''x''-axis).
+
Durch Spiegelung in der ''y''-Achse bekommt der Winkel <math>v</math>, <math>\pi-v</math> (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel <math>v</math> mit der negativen ''x''-Achse)
 +
Die Spiegelung bewirkt nicht die ''y''-Koordinate, während die ''x''-Koordinate Vorzeichen tauscht.
-
Reflection does not affect the ''y''-coordinate while the ''x''-coordinate changes sign
 
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\
\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\
Zeile 106: Zeile 103:
-
''' Reflection in the line ''y = x'' '''
+
''' Spiegelung in der Geraden ''y = x'' '''
{|
{|
|-
|-
Zeile 113: Zeile 110:
| width=45% valign=top |
| width=45% valign=top |
<br>
<br>
-
The angle <math>v</math> changes to <math>\pi/2 - v</math> ( the reflection makes an angle <math>v</math> with the positive ''y''-axis).
+
Durch eine Spiegelung in der Geraden, bekommt der Winkel <math>v</math>, <math>\pi/2 - v</math> (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel <math>v</math> mit der positiven ''y''-Achse).
-
Reflection causes the ''x''- and ''y''-coordinates to change places
+
Durch die Spiegelung tauschen die ''x''- und ''y''-Koordinaten Stellen.
 +
 
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\
\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\
Zeile 126: Zeile 124:
-
''' Rotation by an angle of <math>\mathbf{\pi/2}</math>'''
+
''' Umdrehung mit dem Winkel <math>\mathbf{\pi/2}</math>'''
{|
{|
|-
|-
Zeile 133: Zeile 131:
| width=40% valign=top |
| width=40% valign=top |
<br>
<br>
-
A rotation <math>\pi/2</math> of the angle <math>v</math> means that the angle becomes <math>v+\pi/2</math>.
+
Durch eine Umdrehung von <math>\pi/2</math> bekommt der Winkel <math>v</math>, <math>v+\pi/2</math>.
-
 
+
Durch die Umdrehung bekommt die Koordinate <math>(x,y)</math>, <math>(-y,x)</math>.
-
The rotation turns the ''x''-coordinate into the new ''y''-coordinate and the ''y''-coordinates turns into the new ''x''-coordinate though with the opposite sign
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\
\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\
Zeile 146: Zeile 143:
-
Alternatively, one can get these relationships by reflecting and / or displacing graphs. For instance, if we want to have a formula in which <math>\cos v</math> is expressed in terms of a sine one can displace the graph for cosine to fit the sine curve. This can be done in several ways, but the most natural is to write <math>\cos v = \sin (v + \pi / 2)</math>. To avoid mistakes, one can check that this is true for several different values of <math>v</math>.
+
== Die Additionstheoreme und die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln ==
-
 
+
-
<center>{{:4.3 - Bild - Die Kurven y = cos x und y = sin x}}</center>
+
-
 
+
-
 
+
-
Check: <math>\ \cos 0 = \sin (0 + \pi / 2)=1</math>.
+
-
 
+
-
 
+
-
== The addition and subtraction formulas and double-angle and half-angle formulas ==
+
-
One often needs to deal with expressions in which two or more angles are involved, such as <math>\sin(u+v)</math>. One will then need the so-called "addition formulas" . For sine and cosine the formulas are
+
Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie <math>\sin(u+v)</math>. Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Kosinus lauten die Additionstheoreme
<div class="regel">
<div class="regel">

Version vom 17:28, 4. Apr. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Der trigonometrische Pythagoras
  • Die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln
  • Die Additionstheoreme

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Trigonometrische Identitäten durch den Einheitskreis herleiten.
  • Trigonometrische Ausdrücke mit den Trigonometrischen Identitäten vereinfachen.

Einführung

Es gibt viele trigonometrische Formeln um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln benennt man meistens die Trigonometrische Identitäten- Wir werden hier einige Trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrische Pythagoras hergeleitet werden, die also sehr zentrale Identitäten sind.

Der trigonometrische Pythagoras

Dieses Gesetz ist eigentlich nur ein Sonderfall des Gesetz des Pythagoras, für Dreiecke im Einheitskreis. Durch das rechtwinklige Dreieck im Bild, sehen wir dass

\displaystyle (\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}

which is usually written as \displaystyle \sin^2\!v + \cos^2\!v = 1.

[Image]


Symmetrien

Mit Spiegelungen im Einheitskreis, kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.

\displaystyle 
 \begin{align*}
   \cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
   \sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
   \cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
   \sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
 \end{align*}
 \qquad\quad
 \begin{align*}
   \cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\
   \sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\\
   \cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\\
   \sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\
 \end{align*}

Wie gesagt kann man diese Symmetrien einfach mit dem Einheitskreis herleiten.


Spiegelung in der x-Achse

[Image]


Durch Spiegelung in der x-Achse bekommt der Winkel \displaystyle v, \displaystyle -v.

Die Spiegelung bewirkt nicht die x-Koordinate, während die y-Koordinate Vorzeichen tauscht.

\displaystyle \begin{align*} 
   \cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\
   \sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\
 \end{align*}


Spiegelung in der x-Achse

[Image]


Durch Spiegelung in der y-Achse bekommt der Winkel \displaystyle v, \displaystyle \pi-v (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel \displaystyle v mit der negativen x-Achse)

Die Spiegelung bewirkt nicht die y-Koordinate, während die x-Koordinate Vorzeichen tauscht.

\displaystyle \begin{align*} 
   \cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\
   \sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\
 \end{align*}


Spiegelung in der Geraden y = x

[Image]


Durch eine Spiegelung in der Geraden, bekommt der Winkel \displaystyle v, \displaystyle \pi/2 - v (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel \displaystyle v mit der positiven y-Achse).


Durch die Spiegelung tauschen die x- und y-Koordinaten Stellen.

\displaystyle \begin{align*} 
   \cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\
   \sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\\
 \end{align*}


Umdrehung mit dem Winkel \displaystyle \mathbf{\pi/2}

[Image]


Durch eine Umdrehung von \displaystyle \pi/2 bekommt der Winkel \displaystyle v, \displaystyle v+\pi/2.

Durch die Umdrehung bekommt die Koordinate \displaystyle (x,y), \displaystyle (-y,x).

\displaystyle \begin{align*} 
   \cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\
   \sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}
 \end{align*}


Die Additionstheoreme und die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln

Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie \displaystyle \sin(u+v). Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Kosinus lauten die Additionstheoreme

\displaystyle \begin{align*} 
   \sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
   \sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
   \cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\
   \cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\\
 \end{align*}

If one wants to know the sine or cosine of a double angle, that is \displaystyle \sin 2v or \displaystyle \cos 2v, one can write these expressions as \displaystyle \sin(v + v) or \displaystyle \cos(v + v) and use the addition formulas above and get the double-angle formulas

\displaystyle \begin{align*} 
   \sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\
   \cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\
 \end{align*}

From these relationships, one can then get the formulas for half angles. By replacing \displaystyle 2v by \displaystyle v, and consequently \displaystyle v by \displaystyle v/2, in the formula for \displaystyle \cos 2v one gets that

\displaystyle 
 \cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}

If we want a formula for \displaystyle \sin(v/2) we use the Pythagorean identity to get rid of \displaystyle \cos^2(v/2)

\displaystyle 
 \cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}
        = 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}

i.e.

\displaystyle 
 \sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}

Similarly, we can use the Pythagorean identity to get rid of \displaystyle \sin^2(v/2). Then we will have instead

\displaystyle 
 \cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}


Übungen

Tipps fürs lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenke folgendes:

The unit circle is an invaluable tool for finding trigonometric relationships. They are a multitude and there is no point in trying to learn all of them by heart. It is also time-consuming to have to look them up all the time. Therefore, it is much better that you learn how to use the unit circle.

The most famous trigonometric formula is the so-called Pythagorean identity. It applies to all angles, not just for acute angles. It is based on the Pythagoras theorem.


Nützliche Websites

Experiment with the cosine “box”

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/4.3_Trigonometrische_Eigenschaften“